数学教学活动应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。近年来，随着“以学生为主体”观念的不断强化，数学学习的社会文化观逐渐成为当前数学教学的主流思想。然而迄今为止，我们仍然没有一个整合的理论来解释人类的数学思维和行为。在很大程度上，有关人类思维和行为的研究仍然存在“本质上认知的”和“本质上社会的”分裂。这给当前数学教学的发展带来了负面影响。 本研究的第一部分对一些相关的数学能力一般理论、数学表征及小组合作学习研究进行了回顾和梳理。20世纪末期国内主流学科能力模型理论强调概括的基础地位，认为思维最显著的特征是概括，善于概括是思维深刻性的重要特点，也是数学的重要特点。有关数学性质的产物倾向于抽取出人类意识之外的数学观念，这种数学概括显然是超经验的，数学思维则成为超领域的抽象思维，数学概括过程成为所谓思维操练过程。然而数学领域并非人们想象的那样，其认知表现不受领域内容的影响。许多研究者提出内容和背景是推理的基础，人类学习是保守的，其表征与最初学习的情景连在一起。许多具体领域认知结果是通过处理具体领域表征的一般领域过程获得的。抽象和具体的认知通常是以一个连续体的方式运作而不是一分为二的。并且，这个连续体是与学习相联系的。 心理模型是对支持理解、推理和预期的一些领域或情景的一种表征。对人们执行逻辑推理的一个很有影响的解释是：人们形成了问题情境的心理模型。心理模型与一些其他类型的表征结构有关。运用心理模型的一种方式就是执行心理模拟——想象某套初始条件的未来轨迹。这些预测包括定性估计并通常忽视一些与系统行为有重要关系的信息。这种心理模型模拟的一个重要方面在于其是定性的模拟，也就是说人们推理加工的是关于物理系统的相对属性，并不去估计具体量值，也不对系统行为作数学估计。心理模拟通常涉及表象的使用。心理模拟可能还有运动属性。由于模拟过程很费力，随着经验的增长，人们转而使用习得的规则或暂存的结果。 不同形式的合作学习，适用于不同的学习目的，它们具有不同的结构，都存在一些问题也有各自相应的解决途径。合作性学习情境必须有一个大家接受的共同目标作为大家努力的回报。许多研究者探索了小组中提供和接受解释的效能，学生不能应用所获帮助可能是造成获得解释通常与成绩无关的关键因素。认为使用所获帮助很重要的思想与学习者主动建构新理解的建构主义学习观相吻合。在合作性小组背景中，有效的建构策略包括：为小组其他成员总结或回忆信息，回应其他学生的批判性反思问题，根据具体提示给予精细的解释。小组间的建构活动可以帮助学生整合和固化新的理解。在解决问题过程中，学生可以产生自我解释以帮助他们内化原理并建构解决该问题的具体的推断规则。获得其他人精制帮助的学生能够运用这些解释来产生如何解决问题的自我解释。只有最高水平的建构活动才能鼓励自我解释以帮助学生解决自己头脑中的冲突并形成对如何解决该问题的理解。低水平的活动，如重复完成他人己经基本做过的工作或行为，很少能够引起自我解释和重新概念化。试图解决问题可以帮助学生监控自己的理解并促使他们开始意识到错误理解和理解缺漏的存在。尝试解决问题可以帮助群体注意到某个学生的错误理解或理解缺漏。 总体来说，群体合作过程包括四个部分:(l)解决冲突和矛盾;(2)给出和获得解释;(3)提供情感和动机支持;(4)共同建构新观念。第四个过程(即共同建构)能够实质性导致新的观念或是合作者先前并未明显拥有的观念。只有共同建构才是合作学习所特有的过程。合作者可以共同创造不同于合作前现存的观念，或是单个人不可能己经精制过的观念。共同建构活动可以从精制、商讨和冲突三个不同的视角来考察。 本研究的第二部分提出:数学能力的实质就是对客体数学模型化的能力。当主体与客体相互作用的时候，往往在头脑中激活的不是单一表征内容，而是涉及多表征系统的观念团，并且这种观念团具有可执行性，通过运行观念团中的可执行部分可以形成预期，做出推断，解决问题，或是产生新的表征。这种观念团的数量和质量决定了个体的活动效率。由于数学具有形式化和模型化双重属性，联系数学的两面的是建模活动。研究者认为，数学能力是一个由具体到抽象的连续体，它反映了数学性质、数学思维与推理、心理模型发展等内容的两极关系。 数学能力的形成过程也并非是一个从一开始就直接规则化、形式化的过程，必然要经历一个用心理模型来模拟的过程，这就是一个个人不断建构和丰富心理模型的过程。在这个过程中，随着学习者不断加工外部信息(包括问题解决)，学习者的心理模型不断被建构和修补，甚至被改变。数学能力的培养过程应该是一个心理模型不断完善的过程，最终发展成为用规则与现实世界打交道。 研究者提出，小组合作学习的内部心理过程包括三个阶段:个体知识建构阶段，合作性知识建构阶段和