迭代根问题是一个古老而有意义的课题，对它的研究至少可以上溯到N.H.Abel，甚至更早的B.Babage。对于非空集X上的一个自映射F：X→X来说，它的n次迭代根就是求解如下函数方程fⁿ（x）=F（x），（?）x∈X。一般地说，以未知函数的迭代为主要运算形式的函数方程称为迭代方程。近年来随着非线性科学的发展及迭代理论的进一步深入，迭代问题尤其是迭代方程的计算问题在许多学科研究中越来越受到重视，引起了信息科学、电子工程等领域的学者们如L.Kinderman，P.Protzel和N.Iannella等的关注。在单调情形和部分非单调情形M.Kuczma和Gy.Targonski等人已经给出了区间上迭代根构造的一般方法。在此基础上，J.Kobza在n=2和F为递增折线函数的情形下对迭代根给出了算法。对于一般多项式型迭代方程的计算，S.Nabeya和J.Matkowski等提出了特征解方法，在n=2的所有情形及n＞2的部分情形下给出了解的构造，这为进一步研究这些方程解的计算提供了思想和方法。从J.Kobza的工作来看，计算迭代根的一个重要思想是首先解决折线问题，然后利用折线逼近一般的连续解，这势必需要解决解的稳定性问题。徐冰和张伟年给出了迭代根以及多项式型迭代方程的Hyers-Ulam稳定性的结果，这为进一步研究迭代方程的计算打下了基础。在本文的第一章我们介绍了迭代、动力系统、函数方程等基本概念及紧密联系，并综述了近年来迭代方程的若干进展，包括多项式型迭代方程、迭代根、特征解与稳定性等方面的研究成果。在J.Kobza等人工作的基础上，本文的第二章我们进一步研究了各种单调情形下折线函数的n次迭代根的计算方法。与J.Kobza给出的在实直线R上计算递增函数的平方迭代根不同的是，我们在紧区间[a，b]上讨论。由于在紧区间上讨论涉及到端点的迭代，因此比在R上更困难。不仅如此，我们还把J.Kobza给出的计算递增函数的平方迭代根的方法推广到计算非单调函数的n阶迭代根。同时，我们还研究了折线函数复合后的折点的计算公式。由于具有不同的定义区间及折点分布，折线函数复合比迭代以后的折点计算要复杂得多，这也推广了J.Kobza的结果。对于一般形式下的多项式迭代方程而言，计算方法同样是建立在解的存在性和一般解构造的基础之上，本文第三章在杨地莲和张伟年工作的基础上，进一步研究了三次多项式型迭代方程连续解的一些性质。对特征根r_j≠0（j=1，2，3）的一些情形给出了实连续解的性质。在|r₁|=1时，对情形r₂＞0，r₃≠1，r₃＞r₂和r₂≠1，r₃＜0，r₃＞r₂给出了实连续解的性质，这对进一步考虑一些临界情形下的通解构造具有重要意义。最近，K.Nikodem和张伟年研究了二阶集值迭代方程，证明了方程存在严格递增的上半连续解。在他们工作的激励下，在本文的第四章我们针对严格单调增的上半连续函数，进一步研究了方程的Hyers-Ulam稳定性和Hyers-Ulam-Rassias稳定性。由于集值函数与单值函数的迭代存在较大的差异，因此处理单值情形下的迭代方程的一些存在性定理均不能使用。集值迭代方程的近似解附近是否存在唯一的真解涉及方程解的稳定性条件。本章利用构造Cauchy列的方法得到了近似解收敛的判定。