【摘 要】
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分数阶微积分（包括分数阶积分和分数阶导数）是经典的整数阶微积分的推广,它们有着几乎相同的发展史.近年来,人们发现分数阶微积分算子所具有的奇异性和非局部性,非常适合描述具有记忆或遗传特性的材料和过程以及长距离相互作用,也因此吸引了越来越多学者的关注.本文围绕几类时间分数阶偏微分方程的间断Galerkin（DG）有限元方法的稳定性和误差估计展开研究,包括时间-分数阶对流方程、时间-分数阶对流-扩散-反
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分数阶微积分（包括分数阶积分和分数阶导数）是经典的整数阶微积分的推广,它们有着几乎相同的发展史.近年来,人们发现分数阶微积分算子所具有的奇异性和非局部性,非常适合描述具有记忆或遗传特性的材料和过程以及长距离相互作用,也因此吸引了越来越多学者的关注.本文围绕几类时间分数阶偏微分方程的间断Galerkin（DG）有限元方法的稳定性和误差估计展开研究,包括时间-分数阶对流方程、时间-分数阶对流-扩散-反应方程、时间-分数阶Stokes方程以及时间-分数阶Oseen方程.主要内容在以下五章（第二章至第六章）中介绍.第二章研究了带有Caputo导数的一维时间-分数阶对流方程的DG方法.考虑到时间-分数阶微分方程的解在初始时刻往往具有弱正则性,故我们使用非均匀网格上的L1方法离散方程的时间分数阶导数,空间方向使用DG有限元方法逼近,得到一个全离散数值格式.理论分析表明,这个格式在L2范数下是稳定且收敛的.数值例子验证了格式的有效性和理论精度.第三章研究了带有Caputo导数的二维时间-分数阶对流方程的DG方法.类似于第二章的思想,我们首先通过非均匀网格上的L1方法对方程的时间分数阶导数进行离散,然后空间方向分别使用矩形网格剖分和三角形网格剖分下的DG有限元方法近似,进而得到两个全离散数值格式.我们同时也对这两种格式在L2范数下的稳定性和收敛性进行了详细的证明.最后通过一些数值例子进一步验证了理论分析的正确性.第四章讨论带有Caputo导数的一维时间-分数阶对流-扩散-反应方程的局部间断Galerkin（LDG）方法.首先我们通过一个直接的方法证明方程解的存在性、唯一性和正则性.然后分别运用均匀网格和非均匀网格上的L1方法离散方程的时间分数阶导数,空间方向使用LDG方法离散,进而构造两个全离散数值格式.最后我们分析了这两个格式的L2模稳定性和收敛性,并用数值例子验证了理论结果.第五章分两种情形讨论了带有Caputo导数的二维时间-分数阶Stokes方程的数值算法.情形一是如果方程的解u（x,t）（速度函数）关于时间t ∈[0,T]足够光滑,比如u（x,·）∈C2[0,T],那么我们使用均匀网格上的L1方法逼近时间分数阶导数,将LDG方法用于此方程的空间离散,给出了一个全离散有限元格式.通过选取适当的数值流通量,我们证明该格式是稳定的,并且得到了速度、应力（速度的梯度）和压力的最优L2模误差估计.情形二是如果方程的解u（x,t）在初始时刻具有弱正则性,那么我们运用非均匀网格上的L1方法对时间方向进行离散,而在空间方向上仍然使用LDG方法离散,然后构造了一个稳定且在速度上具有最优L2模收敛的有限元格式.最后给出一些数值算例来验证理论结果.第六章研究了带有Caputo导数的二维时间-分数阶Oseen方程的LDG方法.根据方程的解u（x,t）（速度函数）在初始时刻的正则性情况,我们分别使用均匀网格和非均匀网格上的L1方法离散方程的时间分数阶导数,空间方向使用LDG方法近似,得到相应的稳定性和收敛性结果.数值算例进一步检验了理论分析的正确性.第七章是总结和展望.简单总结本文内容,并简要说明将来拟研究课题.
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