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本篇论文研究了几类微分方程、差分方程的振动性与非振动性,主要围绕二阶时滞动力方程、二阶Emden-Fowler微分方程、二阶差分方程、二维差分方程组、四阶差分方程的振动性与非振动性展开研究,修正并完善了文献中的一些已有结果,并建立了若干新的判定准则,推广了微分方程、差分方程的振动性与非振动性理论的一些已有结果.第一章介绍了本文研究问题的背景以及相关进展,并简要叙述了本文所做的工作.第二章运用广义Riccati变换等方法研究了一类时间尺度上二阶非线性时滞动力方程的振动性,推广了一些文献中的已有结果.本章所研究方程如下.其中γ ≥ 1是两个正奇数的商,并且满足下面条件:本章,我们作如下假设:定理0.0.1.假设条件(2),(3)及γ≥1成立.如果存在某个正常数k∈(0,1)使得成立,那么方程(1)在[t0,∞)T是振动的.推论0.0.1.假设(2),(3)和γ≥1成立.如果存在某个正常数k∈(0,1)使得成立,那么方程(1)在[t0,∞)T是振动的.定理0.0.2.假设条件(2)和(3)成立,且存在函数σ(t)≥t使得当γ ≥ 1时,有成立,或当0<γ<1时,有成立,那么方程(1)在[t0,∞)T是振动的.我们引入下列记号:定理0.0.3.假设条件(2)和(3)成立,并且Toσ = σoT.假设存在某个正常数k∈(0,1)和一个函数使得其中那么方程(1)在[t0,∞)T是振动的.定理0.0.4.假设条件(2)和(3)成立,并且τoσ = σoτ.假设存在函数H,h ∈ Crdr(D,R),D≡{(t,s)∈ T2:t≥s≥ t0}和一个函数δ(t)∈Crd([(t0,∞)T,R),同时,H有一个关于s的非正的连续偏导数H△s(t,s),并且满足且成立,其中 那么方程(1)在[t0,∞)T是振动的.第三章利用Riccati变换法研究了 一类中立时滞微分方程的振动准则,推广了 一些已有的Emden-Fowler微分方程的振动结果.文章对α,β的大小分情况讨论,并建立不同的权函数,权函数的构造基于所研究方程的特点.文章得到了如下的二阶Emden-Fowler微分方程的振动准则,并给出相应的例子.其中,是两个奇数的商.本章,我们假设下列条件成立:主要结果如下.定理0.0.5.如果0<α≤β,并且存在函数p ∈C(t0,∞))使得那么方程(4)振动.定理0.0.6.如果α>β>0,并且存在一个函数p ∈(C([t0,+∞))使得那么方程(4)振动.第四章包括两部分内容.利用差分的定义和相关公式以及不等式技巧研究了二阶线性差分方程和一阶二维线性差分方程组的振动准则.改进并推广了文献中的已有结果,并给出相应的例子.本章研究如下二阶差分方程的振动准则.本章我们使用如下记号:定理0.0.7.令q ≤ 1/4.如果存在常数α ∈[0,1)使得那么方程(5)是振动的.定理0.0.8.令px(0)≤1/4和q≤1/4.如果存在常数α ∈[M2,1)使得那么方程(5)是振动的.本章我们总是假设总是成立的.定理0.0.9.假设g。成立,并且存在λ ∈[2,+∞),使得那么方程组(6)振动.推论0.0.2.令 成立,假设那么方程组(6)振动.第五章我们给出了四阶差分方程非振动的若干充分条件.本章研究如下四阶差分方程的非振动准则,假设z(n)= △y(n),则上面方程等价于即等价于下列方程假设有下列条件:(A8)1+P1(n)-p3(n)<0;(A9)1+2P1(n)-p2(n+1)<0;(A10)1+p1(n)+-p2(n)0;(A11)P2(n)>0;(A12)p1(n)<-2.定理0.0.10.如果p1(n),p2(n)和P3(n)满足下面条件中的一个,则方程(8)是非振动的.(ⅰ)(A1),(A2),(A3);(ⅱ)(A11),(A2),(A4),(A8),(A10);或(A1),(A2),(A4),(A8),(A10);(ⅲ)(A12),(A4),(A5),(A6),(A10);(ⅳ)(A1),(A2),(A3),(A7),(A9);(ⅴ)(A1),(A2),(A7),(A8),(A9),(A10);(ⅵ)(A1),(A2),(A10);(ⅶ)(A1)(A1),(A10),(A11);(ⅷ)(A1),(A5),(A11);(ⅸ)(A1)(A5),(A6),(A10),(A11).注 0.0.1.将关系式P1(n)= a(n + 1)+ b(n + 1)-3,P2(n)= 3-2a(n + 1)-b(n +1)+c(n + 1),p3(n)= a(n+ 1)-1 代入条件(A1)-(A12)中,可以导出a(n),b(n),c(n)的不等关系式,作为方程(7)的非振动性的判定条件.第六章介绍了本文结论的意义、创新点及研究前景.