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本文着重研究了如下Kirchhoff型强阻尼波动方程和热方程的耦合方程组:其中β<1>,β<,2>为常系数,Ω为有界区域。
已往关于非线性Kirchhoff型强阻尼波动方程的结果中,关于解的整体存在性,指标P的大小的讨论有一些结果,但未做到最佳。同时,传统的结果中一般要求初值(u<,0>,u<,1>)∈D(A)× D(A<1/2>)(A=-△)。另外,关于古典解的存在性未得到解决,强阻尼波动方程的正则性效应如何也尚不清楚。本文从上述问题出发,力图给出一些答案。
本文的第一个结果在第三章中获得。在第二章局部存在性讨论的基础上,关于指标ρ的不同假设下,获到方程组的弱解和强解的整体存在性结论。此时,我们仅要求M(s)满足:M(s)≥0。
关于弱解的整体存在性,指标的要求是:2≤ρ≤2n/n-2 若n≥3;2<ρ<+∞若 n≤2.初值(u<,0>,u<,1>,θ<,0>)∈H<-1><,0>(Ω)× H<-1>(Ω)×L<2>(Ω)。关于强解的整体存在性,指标的要求是:初值(u<,0>,u<,1>,θ<,0>)∈(H<2>(Ω)∩H<2>(Ω))× L<2>(Ω)×H<1><,0>(Ω)。注意到,我们对(u<,0>,u<,1>)的要求始终是D(A) × X。
本文的第二个结果是解的渐近性态,属于第三章的后半部分内容.本文就Kirchhoff型方程退化和非退化两种不同情形分别作了讨论,得到不同的衰减估计。其中非退化情形,即M(s)≥m<,0>>0时,我们得到指数衰减估计:非退化情形,特别地,M(s)=8<γ-1>。我们得到:
第三个结果是关于强阻尼波动方程的光滑性效应。为此我们引进了一种新的思路.我们得到:关于线性强阻尼波动方程当u<,0>∈L<2>(Ω),u<,1>-Δu<,0>∈L<2>(Ω)时,解u满足:而当u<,0>∈H<2k-2>(Ω),u<,1>-u<,0>-Δu<,0>∈H<2k>(Ω)时,因此,我们可以看到,强阻尼波动方程具有时间变量上的无穷次光滑性效应,这与一般波动方程和弱阻尼波动方程截然不同。然而这种光滑性效应并不表现在空间变量上,这又异于抛物方程。
将上一思路应用到方程组中,我们获得了第四个结果:古典解的存在性。此时,为了可微性,要求指标p满足强解存在性条件且ρ≥2+[4/n]或ρ为ρ偶数。