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本文主要进行两方面的研究:首先是具有特殊交换性质的Jacobi算子或共形Jacobi算子的黎曼流形;其次是R<4>上的伪黎曼度量.
第一章,主要研究具有特殊交换性质的Jacobi算子或共形Jacobi算子的黎曼流形.首先给出具有特殊交换性质的Jacobi算子的黎曼流形的性质.得到了下面的定理:
定理1.1.8 设(M,g)是维数为m的黎曼流形,m≥3,J,是(M,g)的Jacobi算子.如果存在常数c,c<2><1,使得对于任意的p∈M以及任意的X,Y,∈T<,p>M,当cos∠(X,Y)=c时,都有等式J(X)J(Y)=J(Y)J(X)成立,则(M,g)具有常截面曲率.特别地,如果c≠0,则(M,g)是平坦的.
其次,给出具有特殊交换性质的共形Jacobi算子的黎曼流形的性质.得到了下面的定理:
定理1.1.9 设(M,g)是维数为m的黎曼流形,m>3,J<,W>是(M,g)的共形.Jacobi算子.如果对于任意的p∈M以及任意的X,Y ∈T<,p>M,都有等式J<,W>(X)J<,W>(Y)=J<,W>(Y)J<,W>(X)成立.则(M,g)是局部共形平坦的.
定理1.1.10 设(M,g)是维数为m的黎曼流形,m>3,J<,W>是(M,g)的共形Jacobi算子.如果对于任意的p∈M,下述条件成立:
(1)对于任意的X,Y ∈T<,p>M,当g(X,Y)=0时,都有等式J<,W>(X)J<,W>(Y)=J<,W>(Y)J<,W>(X)成立;
(2)存在单位向量X∈T<,p>M,使得算子J<,W>(X)的秩r<,W>(X)=m-1.则(M,g)是局部共形平坦的.
第二章,主要讨论四维实数空间R<4>上的一类特殊的伪黎曼度量.证明了在一定的条件下, R<4>关于这些特殊的伪黎曼度量是非局部对称的Osserman伪黎曼流形.
所研究的伪黎曼度量具有如下的表达式:
其中a和b是实常数,b不为零,f<,1>和f<,2>是任意光滑实值函数.
那么, (R<4>g(f<,1>f<,2>))是一个非局部对称的Osserman伪黎曼流形.