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本文主要进行两方面的研究：首先是具有特殊交换性质的Jacobi算子或共形Jacobi算子的黎曼流形；其次是R<4>上的伪黎曼度量．
第一章，主要研究具有特殊交换性质的Jacobi算子或共形Jacobi算子的黎曼流形．首先给出具有特殊交换性质的Jacobi算子的黎曼流形的性质．得到了下面的定理：
定理1.1.8 设(M，g)是维数为m的黎曼流形，m≥3，J，是(M，g)的Jacobi算子．如果存在常数c，c<2><1，使得对于任意的p∈M以及任意的X，Y，∈T<,p>M，当cos∠(X，Y)=c时，都有等式J(X)J(Y)=J(Y)J(X)成立，则(M，g)具有常截面曲率．特别地，如果c≠0，则(M，g)是平坦的．
其次，给出具有特殊交换性质的共形Jacobi算子的黎曼流形的性质．得到了下面的定理：
定理1.1.9 设(M，g)是维数为m的黎曼流形，m>3，J<,W>是(M，g)的共形．Jacobi算子．如果对于任意的p∈M以及任意的X，Y ∈T<,p>M，都有等式J<,W>(X)J<,W>(Y)=J<,W>(Y)J<,W>(X)成立．则(M，g)是局部共形平坦的．
定理1.1.10 设(M，g)是维数为m的黎曼流形，m>3，J<,W>是(M，g)的共形Jacobi算子．如果对于任意的p∈M，下述条件成立：
(1)对于任意的X，Y ∈T<,p>M，当g(X，Y)=0时，都有等式J<,W>(X)J<,W>(Y)=J<,W>(Y)J<,W>(X)成立；
(2)存在单位向量X∈T<,p>M，使得算子J<,W>(X)的秩r<,W>(X)=m-1．则(M，g)是局部共形平坦的．
第二章，主要讨论四维实数空间R<4>上的一类特殊的伪黎曼度量．证明了在一定的条件下， R<4>关于这些特殊的伪黎曼度量是非局部对称的Osserman伪黎曼流形．
所研究的伪黎曼度量具有如下的表达式：
其中a和b是实常数，b不为零，f<,1>和f<,2>是任意光滑实值函数．
那么， (R<4>g(f<,1>f<,2>))是一个非局部对称的Osserman伪黎曼流形.