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本论文由彼此相关的而又独立的五章组成。第一章为序言，简要介绍了本文所需的数学工具，即分数阶微积分理论和某些特殊函数。在§1．1节中，简要介绍了分数阶微积分的发展历史及其最近的应用，分别给出了Riemann-Liouville（R-L）分数阶积分算子0Dt-β、分数阶微分算子0Dtβ（0＜Reβ＜1）、Caputo分数阶导数D*α和Riesz／Weyl分数阶导数-∞Dxμ（μ＞0）的定义和重要性质，并讨论了分数阶积分和微分算子的Laplace变换。在§1．2节中，简单介绍了广义Mittag-Leffler函数Eα，β（z）的定义及其某些重要公式。在§1．3节中，给出了H-Fox函数的定义、级数表达式及其基本性质，并讨论了H-Fox函数的特例及其Fourier正弦和余弦积分变换。Fox函数是求解分数阶微分方程的有力工具。本章是后面各章的基础。第二章讨论了分数阶微积分在量子力学中的应用，主要研究了一维空间分数阶Schr（?）dinger方程的一些应用。首先，§2．2节给出了自由粒子满足的分数阶Schr（?）dinger方程并利用积分变换和H-Fox函数及其性质求得自由粒子的波函数：§2．3节求解了如下的无限深方形势阱中粒子的波函数和能级分别为：§2．4节讨论并求得了粒子贯穿如下方形势垒的贯穿系数和反射系数分别为：还讨论了具有能量E的粒子通过方形势阱的情形。第二章的最后我们讨论了量子散射问题中与分数阶Schr（?）dinger方程等价的广义的Lippmann-Schwinger积分方程并同样利用H-Fox函数及其性质确定了其Green函数的形式：在第三章中，我们对比广义Oldroyd-B流体的本构关系：引入了修正的现象逻辑学的分数阶导数描述的Darcy定律：在描述粘弹性流体的分数阶Darcy定律的基础上，研究了带分数阶导数的广义Oldroyd-B流体在多孔介质中的涡流运动模型：我们利用分数阶导数的Laplace变换和Hankel变换，以及广义的Mittag-Leffler函数，分别给出了涡流速度场和温度场的精确解：特别得，当η=0时，（17）式简化为广义Oldroyd-B流体在非多孔介质中的涡流速度场的解；而当α=1，β=1时，（17）式化为经典Oldroyd-B流体通过多孔介质的涡流速度场的解。当α=0，λ→0，η=0时，我们便得到广义二阶流体的涡流速度场的解，该结果与沈等人的结果一致，并包含了过去的经典结果作为其特例。第四章在描述粘弹性流体的分数阶Darcy定律的基础上，研究了广义Oldroyd-B流体在多孔介质中由于平板的突然启动而引起的流动：即Stokes第一问题。运用Laplace变换和Fox函数的性质，给出了该问题的速度精确解：特别地，当η=0时，上述结果就退化为非多孔介质中的广义Oldroyd-B流体的Stokes第一问题的解；当α=1，β=1可得到多孔介质中整数阶Oldroyd-B流体的相关结果；当α=0，λ=0时，可得到多孔介质中广义二阶流体的相关结果；当β=0，λt=0时，得到多孔介质中广义二阶流体的解。第五章中讨论了带分数阶导数的广义Oldroyd-B流体的非定常Couette流模型：应用Laplace变换和Weber变换，以及广义Mittag-Leffler函数，我们得到了该问题的精确解：其中A（λi，t）=L-1特别地，当α=β=1时，该模型简化为经典Oldroyd-B流体的非定常Couette流模型；当β=0，λt→0时，结果即为广义Maxwell流体的非定常Couette流的解；当α=0，λ→0时，结果即为广义二阶流体的非定常Couette流的解；当α=0，λ=0，β=0，λt=0时，该结果简化为Newtonian粘性流体的非定常Couette流的经典解。