【摘 要】
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分圆域理论源于19世纪中期Kummer对费马大定理的研究,是代数数论的重要组成部分。经典的分圆域理论对后世数论的发展影响巨大,它不仅为费马大定理的成功证明提供了基础,还帮助Preda Mihailescu解决了问世158年的Catalan猜想,为丢番图方程领域的进步做出了卓越的贡献。近代的分圆域理论以Iwasawa理论为代表,作为当今世界数论领域的核心问题之一,彻底解决Iwasawa主猜想和探究I
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分圆域理论源于19世纪中期Kummer对费马大定理的研究,是代数数论的重要组成部分。经典的分圆域理论对后世数论的发展影响巨大,它不仅为费马大定理的成功证明提供了基础,还帮助Preda Mihailescu解决了问世158年的Catalan猜想,为丢番图方程领域的进步做出了卓越的贡献。近代的分圆域理论以Iwasawa理论为代表,作为当今世界数论领域的核心问题之一,彻底解决Iwasawa主猜想和探究Iwasawa理论与Langlands纲领之间的联系,成为无数顶尖数学家不懈奋斗的目标,深刻地影响着现代数论的发展。著名的Kronecker-Weber定理表明:任意Abel数域均是某个分圆域的子域,因此彻底解决分圆域子域的显式表达形式具有重要意义。已有结果成功构造了分圆域Q（ζ∏pi）的所有子域形式,但距离彻底解决这一命题还有一定距离。本文着重介绍了分圆域的重要结论、必要的代数和数论定理以及指数和、高斯周期的部分性质,从而利用Galois对应结合高斯周期在分圆域中的重要作用,将构造分圆域Q（ζ∏pi）子域的结果进行扩展,得到分圆域Q（ζpn）子域的显式表达形式:Q（ζpn）H=Q（S（H,pi））,该结果为彻底解决构造任意次分圆域的子域显式表达形式提供了研究基础。
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