众所周知，赋范空间上满等距算子必然是线性的[54，65]。P．Mankiewicz[53]研究了开连通子集上的等距算子的延拓问题，他证明了从一个赋范空间的开连通子集到另一个赋范空间的开连通子集上的满等距算子必然可以被延拓到全空间上的仿射等距算子。到目前为止，经典的Mazur-Ulam定理已经被D.Tingley[64]，A．Vogt[67]各自在一系列文章中沿着不同的方向独立的推广（参考[13，14]，[55]）。而且，D. Tingley[64]提出了等距延拓问题（参考[13-23]）。　　 在第一章中，首先我们对于一般Baaach空间研究了等距延拓问题并给出额一些充分条件使得单位球面上的等距算子能够被线性延拓，然后证明了：从一类经典AM空间（或者可分得AL空间）的单位球面到S(E)上的满等距算子能够被线性延拓到整个空间上。然后我们给出了单位球面上逼近等距算子的一些性质并且证明了，如果E和F是Banach空间且E满足性质(m)，那么相应单位球面间的双射逼近等距算子能够被延拓到他们的单位闭球间的双射逼近等距算子。并且，我们将给出一个反例说明我们的结果中的满假设条件不能去掉。由此，我们否定解决了非满等距延拓问题[68]。最后．我们给出一个简短的证明对于从Banach空间E到万有空间单位球面间的等距嵌入的延拓定理。我们证明了，在某些条件下，每一个单位球面间的等距嵌入能够被延拓成全空间上的正齐性等距嵌入。　　 Hilbert空间中的框架理论在许多领域中扮演着重要角色并且在近些年快速发展。动机来自于工程应用，即信号分析，也来自于数学的不同领域的应用，近来，框架理论出现了与泛函分析中理论问题的联系，例如Kadison-Singer问题[9]。　　 在2.1节中，我们回忆Banach空间中Schauder框架的基本定义和性质。然后我们介绍了收缩和有界完备Schauder框架的概念并且证明了一些基本事实。2.2节处理伴随空间的概念，并且介绍了关于Schauder框架的极小与极大（伴随）空间和相应的极小与极大（伴随）基的定义。在2.3节中我们延伸了关于收缩和有界完备基的James的结果到Schauder框架[40]。在2.4节中，我们讨论了无条件Schauder框架。我们得到了James定理的推广。