分数阶微积分是一个古老又新颖的数学分支.随着分数阶微积分在物理、生物、金融及最优控制等多个领域的成功应用,分数阶微分方程的理论和应用也随之得到了迅速发展.相比于整数阶微分方程,分数阶微分方程具有记忆性和遗传特性,更适合于描述反常扩散、粘性流体力学、多孔介质力学、电气工程、生物工程学中的许多问题.但是,由于分数阶微分算子具有记忆性和非局部性等特点,这也增加了分数阶微分方程研究的难度.另外,自然界和现实生活中的随机因素无处不在,所以确定性数学模型不能完全体现这种随机影响.例如,出现在金融、环境和天气衍生品中的数学模型常常受到某些噪声的影响而发生波动.因此,研究分数阶（随机）微分方程解的存在性具有重要的理论意义和现实意义.非线性泛函分析是现代数学的一个重要组成部分,其中的算子半群理论、不动点定理、半序方法等非线性分析方法是研究许多非线性数学模型的强有力的工具.近年来,越来越多的国内外学者对非线性泛函分析的理论和应用进行深入而广泛的探讨,并获得了大量的研究成果.本文主要研究了几类分数阶积分-微分方程,包括带时滞的混合型分数阶半线性积分-微分方程,带非局部条件的分数阶半线性瞬时脉冲积分-微分方程,带非瞬时脉冲的分数阶半线性非自治微分方程的周期边值问题,阶数β∈(1,2]的带时滞的分数阶非线性偏微分方程初边值问题,以及带非局部条件的布朗运动驱动的分数阶半线性随机微分方程.本文主要借助于算子半群理论、Kuratowski非紧性测度和不动点定理等非线性泛函分析的理论和方法,证明了这几类分数阶积分-微分方程解的存在性和唯一性等问题.本文的研究内容和结构安排如下:在第一章中,我们简要介绍了分数阶微积分的背景和发展历史,分数阶微分方程的研究背景和发展现状,以及本文的主要研究内容.在第二章中,我们介绍了Caputo分数阶导数和Riemann-Liouville分数阶导数的定义以及它们的关系,预解算子定义及其常用性质,Kuratowski非紧性测度的定义及性质,布朗运动的定义,以及后续证明必需的引理等预备知识.在第三章中,我们考虑了一类带时滞的混合型分数阶半线性积分-微分方程,讨论了其解的存在性和唯一性.利用算子半群理论、非紧性测度和不动点定理证明了其解的存在性,另外,利用压缩映像原理证明了方程解的存在唯一性,最后,通过一个例子说明了本章主要结论的应用.由于本章考虑的方程中积分算子K和H的核函数K和H是非线性函数,而且闭线性算子A（t）依赖于t,所以,我们改进和推广了一些已有结论.在第四章中,主要研究了带非局部条件的分数阶半线性瞬时脉冲积分-微分方程.在预解算子是紧算子的情形下,通过预解算子理论和不动点定理得到了其解的存在性,在预解算子是非紧算子的情形下,分别利用Banach压缩映像原理和广义Banach压缩映像原理证明了方程解的存在唯一性.由于本章的方程中积分算子g和H的核函数g和h是非线性函数,闭线性算子A（t）依赖于t,而且本章证明的定理中对非局部条件中的函数ω没有紧性的要求.因此,在较弱的条件下,我们用不同的方法推广了相关结论.在第五章中,我们探讨了一类带非瞬时脉冲的分数阶半线性非自治微分方程的周期边值问题解的存在性.首先,基于Krasnoselekii不动点定理和预解算子理论得到了解的存在性,然后,引入Kuratowski非紧性测度,利用凝聚映像原理证明了方程解存在的充分条件,最后,给出一个例子说明了本章主要结果的应用.值得注意的是,本章考虑的方程中的函数f含有非线性积分算子而且闭线性算子A（t）依赖于t.在第六章中,基于分数阶预解族理论和广义Banach压缩映像原理,我们主要研究了阶数β ∈(1,2]的一类带时滞的分数阶非线性偏微分方程初边值问题解的存在唯一性,并且讨论了不同初值情况下解与初值的依赖关系.由于本章中考虑的偏微分方程的分数阶阶数β∈(1,2],并且不需要单独给出条件来保证压缩系数小于1.所以,在较弱的条件下,我们推广了一些已有的结果.在第七章中,我们主要研究可分Hilbert空间H中一类带非局部条件的布朗运动驱动的分数阶半线性随机微分方程,讨论了其解的存在性.假设A是一个β-阶分数阶解析算子Tβ（t）（t≥0）的无穷小生成元,在该解析算子是紧算子的条件下,我们通过算子半群理论、非紧性测度和Sadovskii不动点定理得到了方程解的存在性.