本文考虑完备黎曼流形上加权Laplace-Beltrami算子，加权热方程以及相关几个问题。 利用加权Laplacian比较定理讨论了加权体积的增长，特别，讨论了在的条件下加权体积增长；进一步，证明了关于Calderón-Zygmund分解的一个结果。 考虑了加权热核的梯度估计，Harnack不等式，借助于体积增长的结果得到了在(1)的条件下加权热核协变导数的积分估计，并证明了在此条件下加权Riesz变换的几乎有界性。 在加权线性热方程以及Ricci曲率张量有负下界的两种情况下定义了熵，得到了熵的单调公式，在后一种情况下得到了相应的微分不等式，并借此估计热核的下界，我们还指出熵与流形的几何性质之间的关系，证明了在熵有下界情况下加权体积具有点态欧氏体积增长。 最后估计了闭的黎曼流形上加权Laplace-Beltrami算子第一非零特征值的下界，讨论了谱隙与m维Bakry-Emery曲率张量的关系，并证明了双曲空间上热核加权Laplace-Beltrami算子的紧致分解性。