【摘 要】
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小波分析是当前应用数学和工程学中一门迅猛发展的新兴交叉学科,是基于经典Fourier分析而创建的应用十分广泛的理论.由于小波的应用价值巨大,其构造方法一直是众多学者研究的核心内容之一.人们发现在频域中构造小波集就是一种构造小波的新方法,进而对小波构造的研究转向了对构造各类小波集的研究.从最简单的一维Shannon小波集出发,逐渐转向高维情况研究,人们得到了Shannon小波集的推广形式——矩阵伸缩
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小波分析是当前应用数学和工程学中一门迅猛发展的新兴交叉学科,是基于经典Fourier分析而创建的应用十分广泛的理论.由于小波的应用价值巨大,其构造方法一直是众多学者研究的核心内容之一.人们发现在频域中构造小波集就是一种构造小波的新方法,进而对小波构造的研究转向了对构造各类小波集的研究.从最简单的一维Shannon小波集出发,逐渐转向高维情况研究,人们得到了Shannon小波集的推广形式——矩阵伸缩小波集,经Fourier逆变换后能够得到一类具有弱光滑性和紧支撑性的单正交小波.但是单小波在应用领域存在一定局限性,单小波处理多信道的彩色图像线性相位不足,促使人们又引入多小波.多小波能够很好地克服这种缺陷,它拥有更短的支撑,因此多小波的构造成为新的研究方向.自然而然,人们期望利用单小波的构造方法来构造多小波,进而引入多小波集的概念和多小波集的构造方法.基于单小波、单小波集和多小波集的研究,本文重点研究了L2（Rd）和可分闭子空间X上的实扩张矩阵A-伸缩小波集和A-伸缩多小波集,并取得了一些结论.本文总共分四个部分：第一章,绪论.简要介绍了小波的发展及小波集的研究现状.第二章,利用相关的集合知识和算子理论,依次给出了L2（Rd）和可分闭子空间X中A-伸缩单小波集的充要条件及其证明.第三章,基于对A-伸缩单小波集的研究,在多分辨分析的前提下,引入A-伸缩多小波集的概念,将A-伸缩单小波集是tile的性质推广到A-伸缩多小波集,利用相关的知识,给出并证明了在L2（Rd）中正测度集族{Wn}n=1q=1是A-伸缩多小波集的充要条件.第四章,类比着第三章的结论,引入A-伸缩子空间多小波集的概念,给出并证明了在可分闭子空间X中正测度集族{Wn}n=1L是A-伸缩子空间多小波集的充要条件.
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