时空坐标非对易的思想已经有很久了。但是长期以来，非对易几何并未在物理上受到人们的重视。近几年，随着弦理论的发展，非对易几何才引起了人们的广泛关注。实际上在弦理论中，非对易几何自然地出现在至少三种不同而又密切相关的背景里。Witten的开弦场论用非对易几何描述了玻色开弦的相互作用；在非对易torus上的矩阵理论的紧化对应于带有常数三形式张量场的超引力；更为普遍的，非对易规范理论可以自然地产生在带有常数B背景场的三维D-brane上。 非对易空间是指时空坐标不可相互交换的空间。非对易场论是建立在非对易空间上的量子场论，它意味着场量可以看作非对易空间的函数。非对易规范理论有两种等价的描述方法。首先，时空坐标直接看作是作用在希尔伯特空间上的算子，希尔伯特空间给出了定义基本非对易几何的代数表示空间。从而非对易空间的场量是算子的函数。另一方面，我们可以从普通空间的规范理论的作用量出发，然后用Moyal星乘积来代替普通空间的规范理论中场量的普通乘积。从而给出非对易空间规范理论的作用量。希尔伯特空间算子乘积与量子空间的函数Moyal星乘积之间的关系是由Weyl-Moyal变换联系起来的。 我们总是想知道对易空间的量子场论的特点在多大程度上同样适用于非对易空间的量子场论。这是一个值得深究的问题。我们应该从非对易场论本身去研究它。在这些问题中，量子场论中的反常问题引起了人们的广泛兴趣。在这一方面，我们做了如下工作。我们以二维非对易空间的手征QCD₂模型为例讨论了非对易规范理论中的手征反常问题。手征反常是指规范理论中经典手征对称性在量子化后的破坏。我们用Fujikawa路径积分的方法研究了二维非对易空间的手征QCD₂模型作用量费米子部分在手征转动下所产生的手征反常。我们计算了由于积分测度在手征转动下发生变化所引起的Jacobian因子。同时我们还计算了非对易空间的手征QCD₂模型的费米行列式，给出了它的有效拉氏量。在非阿贝尔情形，我们发现在它的有效拉氏量中矢量玻色子有质量生成，有效作用量里包含Wess-Zumino-Witten项。而非阿贝尔情形，我们得到的结果也是非对易空间的手征Schwinger模型的有效作用量。 自从弦理论与非对易场论之间的关系被揭示以后，对非对易场中的孤子解的研究引起了理论物理学家的广泛关注。非对易场和弦理论中的孤子解经常对弦理论的非微扰和强藕合行为的研究提供重要的线索。尽管Derrick定理说明在超过1十1维普通空间标量场论中孤子解是不可能存在的，Gop砍umar、Headrick和SPr耐lin发现在（2+1）维平直空间非对易标量场论的孤子解是存在的。它可以由非对易空间的投影算子来构成。Martinec和Moore讨论了D一branes上的物理如何自然地与一些非对易orbifolds上的投影算子相联系。因此，研究各种空间的投影算子就显得非常重要。Rieffel曾经给出不可对易torus上的投影算子的普遍公式。Boca进一步在理论上论证不可对易orbifold TZ/G投影算子的存在性，讨论了它们的迹与不可对易torus上的平移算子U和V的对易因子q的关系。他明确给出了一个具有氛对称性不可对易orbifold TZ/G上的投影算子。Koneehny，Sehwartz和walters曾经给出了具有几，二对称性的投影算子。M毗inec和Moore指出直到现在还没有发现具有几，z6对称性的投影算子的有限解析表达式。GoPakumar等人用另一种构造方法给出当 UV=VU时不可对易torus上的投影算子。他们的构造中的真空态}0>可以换成任意态矢量}功>，因而事实上可以给出一系列这样的投影算子。我们注意到，在他的构造中，如果适当要求态矢量}价>的对称性质，那么构造的投影算子就是不可对易orb而ld尸/G投影算子。在本文中，我们讨论了周期情形时的wey卜Mcyal变换，用G叩akulnar、Headrick和SPradhn引入的构造非对易torlis上投影算子的方法，构造了可积非对易。rbifoldT，/G（G=勒，N=2，3，4，6）上的投影算子，这些投影算子中可以包含一个任意函数，因而给出了无穷多投影算子。作为例子，我们得到一个可积非对易。rb而ld尸/几上的投影算子的有限解析解。由于非对易场论中的投影算子对应于非对易场论中的孤子解，所以我们就给出非对易场论中无穷多的孤子解。我们还讨论了投影算子所满足的充分必要条件，给出了投影算子的完备集合。而且说明投影算子所对应的与前面所说的M叮al乘积相关的函数同样具有易（N二2，3，4，6）对称性。