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1992年，Peng和Pardoux[70]首次给出了非线性倒向随机微分方程(BSDE)适应解的存在唯一性。此后，由于BSDE以及正倒向随机微分方程(FBSDE)良好的结构，其不仅在随机分析([18，74])、偏微分方程([68，12])等基础领域得到广泛研究，也为金融数学([27，20])、随机控制([72，75])等应用领域提供了坚实的理论支撑。然而，仅由布朗运动驱动的正倒向系统仅能有效刻画模型中连续的参数，但在现实世界中，有很多发生频率较低(偶发)，但对系统有着长远深刻影响的事件。以股票市场为例，市场趋势变化(牛市熊市转换)、政策变动等均为不连续且偶发的状态，但对股票市场影响深远。仅由布朗运动驱动的经典扩散模型不能很好的刻画上述事件。马氏链作为一种状态离散、时间连续的随机跳过程，其特有的性质恰好可以对上述事件刻画，该思想最早由Hamilton[31]提出，现已得到广泛关注与研究([105，87])。因此，我们引入一类连续时间有限状态的马氏链，并使之与BSDE系统进行耦合，进而研究一类由布朗运动与马氏链共同驱动的混合系统。在此类系统中，系数中包含马氏链，以马氏链的状态刻画偶发事件等，使得系统状态依赖于事件变化。比如在股票市场中，我们在股票价格模型的系数中引入含两个状态的马氏链，其状态分别代表牛市和熊市，此时的系统可以刻画由牛市熊市转换对股票价格的影响。此外，在研究受噪声干扰的部分可观测信息问题时，带马氏链的滤波技术起到关键作用([2，88])。以上问题的数学理论支撑本质上是带马氏链的正向或者倒向系统。因此，本文将致力于研究带马氏链的倒向随机系统，包括带马氏链的倒向微分方程(BSDEM)，带马氏链的倒向双重随机微分方程(BDSDEM)以及正倒向系统对应的偏微分方程(PDE)、随机偏微分方程(SPDE)问题。
本文主要由以下六章组成:
论文第一章，阐述本文所涉及问题的研究背景以及研究意义，并详细说明此后每章的主要学术贡献。
论文第二章，主要研究带马氏链的随机微分方程(SDEM)解的随机流性质以及其上的Malliavin分析，为接下来研究倒向及倒向双重随机微分方程做准备。首先，我们得到SDEM的解可以构成一个随机流，然后，利用经典的解的估计方法，我们得到SDEM解的高阶估计，并利用同伦理论，得到其解可形成一个微分同胚。最终，我们得到一个推广的等价范数定理，其在研究与SDEM耦合的BSDEM及BDSDEM在Sobolev空间中的解问题时起到关键作用。此外，为了研究SDEM的解在维纳空间中的正则性以及后面第五章关于中关于“Z”的表示，我们研究了一类随机变量的Malliavin可微性问题，此类随机变量不仅带有维纳过程的信息，还带有与维纳过程独立的信息。利用独立性，我们得到了此类随机变量的维纳-伊藤混沌分解，并最后推广了著名的Clark-Ocone公式。利用逼近方法，最终得到SDEM的解在维纳空间中的正则性。
论文第三章，本章主要研究了与BSDEM相关联的PDE的光滑解与Sobolev弱解。首先，利用经典的估计技术，我们得到BSDEM解的高阶估计以及其解关于参数的连续依赖性和光滑性。利用逼近技术，我们得到BSDEM中“Z”的表示，由此我们得到了PDE光滑解的存在唯一性。
在经典的Lipschitz条件下，BSDEM的解的存在唯一性已经有结果。但是，在研究其对应的PDE的Sobolev弱解问题时，我们发现如果将经典Lipschitz条件弱化为一种带权重函数的泛函形式的Lipschitz条件，得到的BSDEM的解能够更加自然的描述PDE的解。因此，利用第二章中得到的等价范数定理，Riesz表示定理，磨光技术以及一些经典的估计方法，我们首先得到了在泛函Lipschitz条件下BSDEM解的存在唯一性。最后，利用逼近技术，我们得到了PDE的Sobolev弱解的概率解释。
论文第四章，在本章中，我们主要研究了BDSDEM解的存在唯一性以及比较定理。首先，我们给出了一个推广的伊藤公式;然后，在经典的Lipschitz条件下，利用鞅表示定理以及逼近技术，我们得到了其解的存在唯一性;随后，利用Yosida逼近，我们研究了在单调条件下，BDSDEM解的存在唯一性，并分别给出了在以上两种条件下的比较定理。最后，我们研究了在局部单调条件下，BDSDM解的存在唯一性。通过构造一列全局单调的BDSDEM，我们证明了其极限即为在局部单调条件下BDSDEM的唯一解。
论文第五章，本章主要研究了与BDSDEM相关联的SPDE的光滑解与Sobolev弱解问题。首先，利用经典的估计技术，我们得到BDSDEM解的高阶估计以及其解关于参数的连续依赖性和光滑性。利用第二章的Malliavin分析，我们得到BSDEM中“Z”的表示，由此我们得到了SPDE光滑解的存在唯一性。
同样地，在泛函形式的Lipschitz条件下，BDSDEM的解可以更加自然的描述SPDE。因此，利用第二章中得到的等价范数定理，Riesz表示定理，磨光技术以及一些经典的估计方法，我们首先得到了在泛函Lipschitz条件下BDSDEM解的存在唯一性，利用逼近技术，我们得到了其对应的SPDE的Sobolev弱解的存在唯一性。最后，利用时间方向上的有限差分法以及空间方向的谱配点法，我们给出了此类SPDE的一个数值结果。
论文第六章，总结本文的研究结果并给出一些研究展望。
本文主要由以下六章组成:
论文第一章，阐述本文所涉及问题的研究背景以及研究意义，并详细说明此后每章的主要学术贡献。
论文第二章，主要研究带马氏链的随机微分方程(SDEM)解的随机流性质以及其上的Malliavin分析，为接下来研究倒向及倒向双重随机微分方程做准备。首先，我们得到SDEM的解可以构成一个随机流，然后，利用经典的解的估计方法，我们得到SDEM解的高阶估计，并利用同伦理论，得到其解可形成一个微分同胚。最终，我们得到一个推广的等价范数定理，其在研究与SDEM耦合的BSDEM及BDSDEM在Sobolev空间中的解问题时起到关键作用。此外，为了研究SDEM的解在维纳空间中的正则性以及后面第五章关于中关于“Z”的表示，我们研究了一类随机变量的Malliavin可微性问题，此类随机变量不仅带有维纳过程的信息，还带有与维纳过程独立的信息。利用独立性，我们得到了此类随机变量的维纳-伊藤混沌分解，并最后推广了著名的Clark-Ocone公式。利用逼近方法，最终得到SDEM的解在维纳空间中的正则性。
论文第三章，本章主要研究了与BSDEM相关联的PDE的光滑解与Sobolev弱解。首先，利用经典的估计技术，我们得到BSDEM解的高阶估计以及其解关于参数的连续依赖性和光滑性。利用逼近技术，我们得到BSDEM中“Z”的表示，由此我们得到了PDE光滑解的存在唯一性。
在经典的Lipschitz条件下，BSDEM的解的存在唯一性已经有结果。但是，在研究其对应的PDE的Sobolev弱解问题时，我们发现如果将经典Lipschitz条件弱化为一种带权重函数的泛函形式的Lipschitz条件，得到的BSDEM的解能够更加自然的描述PDE的解。因此，利用第二章中得到的等价范数定理，Riesz表示定理，磨光技术以及一些经典的估计方法，我们首先得到了在泛函Lipschitz条件下BSDEM解的存在唯一性。最后，利用逼近技术，我们得到了PDE的Sobolev弱解的概率解释。
论文第四章，在本章中，我们主要研究了BDSDEM解的存在唯一性以及比较定理。首先，我们给出了一个推广的伊藤公式;然后，在经典的Lipschitz条件下，利用鞅表示定理以及逼近技术，我们得到了其解的存在唯一性;随后，利用Yosida逼近，我们研究了在单调条件下，BDSDEM解的存在唯一性，并分别给出了在以上两种条件下的比较定理。最后，我们研究了在局部单调条件下，BDSDM解的存在唯一性。通过构造一列全局单调的BDSDEM，我们证明了其极限即为在局部单调条件下BDSDEM的唯一解。
论文第五章，本章主要研究了与BDSDEM相关联的SPDE的光滑解与Sobolev弱解问题。首先，利用经典的估计技术，我们得到BDSDEM解的高阶估计以及其解关于参数的连续依赖性和光滑性。利用第二章的Malliavin分析，我们得到BSDEM中“Z”的表示，由此我们得到了SPDE光滑解的存在唯一性。
同样地，在泛函形式的Lipschitz条件下，BDSDEM的解可以更加自然的描述SPDE。因此，利用第二章中得到的等价范数定理，Riesz表示定理，磨光技术以及一些经典的估计方法，我们首先得到了在泛函Lipschitz条件下BDSDEM解的存在唯一性，利用逼近技术，我们得到了其对应的SPDE的Sobolev弱解的存在唯一性。最后，利用时间方向上的有限差分法以及空间方向的谱配点法，我们给出了此类SPDE的一个数值结果。
论文第六章，总结本文的研究结果并给出一些研究展望。