图像去噪是图像处理中重要预处理步骤。噪声的存在对后续的图像分析和理解带来困难。本论文利用偏微分方程对光学系统中出现的斑点噪声和高斯噪声的去噪进行了研究，提出了基于自适应窗口的斑点噪声扩散模型来消除图像中的斑点噪声，在此基础上，将偏微分方程建立在图上，用谱图理论对偏微分方程进行求解，对基于谱图理论偏微分扩散方程的三个主要部分(图的拓扑结构、图的权重函数、图上的核函数)进行讨论，提出了多种解决方案，全面系统地阐述了偏微分方程去噪的原理及实现方法。　　 提出了一种基于自适应窗口的斑点噪声各向异性扩散去噪算法，算法从计算瞬时方差系数的窗口入手，阐述了窗口的选择对瞬时方差系数值的影响，分析了瞬时方差系数与偏微分方程去噪性能之间的关系，根据图像的局部特性，提出了一种窗口的长度、宽度和方向可以动态自适应改变的算法。在此基础上，分析了扩散系数对算法的影响，并提出了一种新的稳定的、良态的扩散系数模型，它能够保证扩散过程稳定。与SRAD、DPAD、OSRAD等算法相比，该方法在计算瞬时方差系数时，比传统的斑点扩散去噪算法更为精确有效，且去噪后的图像与原始无噪图像具有更好的结构相似度。　　 提出了基于非下采样Contourlet变换和谱图理论的扩散去噪算法。将偏微分方程建立在图上，用谱图理论来求解偏微分方程，采用多尺度几何分析的非下采样Contourlet变换来提取图像的特征，进而构造图上的权重，求出图的拉普拉斯矩阵。用图上的热核和拉普拉斯矩阵建立图上的偏微分热扩散方程，并用于图像的去噪。实验表明，该算法与其它部分偏微分方程算法相比，在去除图像噪声的同时，能够有效地保留图像中边缘、轮廓和纹理等具有高维奇异性的几何特征。　　 提出了基于小世界模型和图论的热扩散方程去噪算法。图上的热扩散方程求解时的迭代速度是图的直径的函数，图的直径越大，迭代的速度越慢。针对基于谱图理论算法的迭代速度与图的直径密切相关这一特点，论文中修改图的拓扑结构，在常用的4邻接和8邻接的规则图上，利用小世界效应，随机添加一些长程连接的边，构造小世界模型，从而大幅度减少图的直径，加快算法的迭代速度。同时通过实验确定了基于双边滤波算法构造的图权重函数中参数的选取，给出了参数之间所满足的关系。实验表明：与其它算法相比，在性能相同的情况下，该算法具有更快的迭代速度。　　 提出了一种基于谱图理论和随机游走核的图像去噪算法。根据图上的正则化理论和核函数的概念得到图上带起始点的二阶随机游走核，在此基础上，构造四种权重函数(非下采样Contourlet变换，NL-Means算法、非下采样Contourlet变换结合KNN，NL-means结合KNN算法)，并构造了一种新的稀疏长程连接的图拓扑结构，从理论上分析了稀疏长程连接拓扑图的直径，随后将图的拓扑结构、图的权重构造算法、带起始点的随机游走核三者结合起来用于图像的去噪。去噪结果表明：与部分基于谱图理论的去噪算法相比，本文的算法具有较快的迭代速度和优良的性能。最后证明了基于该随机游走核的去噪实际上等价于偏微分方程去噪算法。