自上世纪60年代以来，图的特征值得到广泛研究。早期的大部分工作集中在图的邻接矩阵的谱上。在80年代，图论的新的发展使得人们清晰地认识到，Laplace矩阵的特征值和特征向量比较邻接矩阵能够更自然地进入应用理论领域。谱方法在组合、图论和组合最优化方面早已有长期的应用历史。图的Laplace矩阵与二阶微分算子Laplacian之间的紧密联系使得在黎曼流形的谱几何与图论之间建立了一个重要的双向联系．符号模式矩阵是组合矩阵论中非常活跃的一个课题，其在经济学社会学等学科都有广泛的应用背景． 本文的主要目的是研究简单图和带号图上的标准Laplace矩阵和规范化的Laplace矩阵的谱性质，同时，我们对定性矩阵理论中的蕴含幂零的符号模式也进行了一些探索．我们的研究做出了一种尝试，即将在Laplace矩阵上很多好的性质和结论推广到了规范化Laplace矩阵这一在理论和应用方面都很重要的较新的课题上。 本文的具体安排如下： 在第一章中，我们先简要的介绍了图和矩阵的一些基本概念和理论，对Laplace矩阵的起源与主要研究内容及其研究现状作了一个大概的综述．在这一章的最后，列出了本文所得到的主要结论． 在第二章中，我们先介绍了带号图和混合图一些基本概念和背景知识，指出了带号图和混合图上Laplace矩阵的本质的一致性，列出了在带号图与混合图上Laplace矩阵谱半径的界的估计的研究结果。本章的主要内容是利用Brauer定理给出了在带号图上的Laplace矩阵的谱半径的一个上界估计． 在第三章中，我们致力于对规范化Laplacian的研究．我们首先给出了规范化Lapla-cian的一系列的重要性质，其中有图的导出子图的连通性和规范化Laplacian的调和特征函数之间的关系，图在割点的分支与调和特征函数之间的关系．然后证明了在连通图上，规范化Laplacian的次小特征值在图的移接变换下不增的事实，并且给出了一个严格递减的条件．在本章的最后一节，我们研究了带号图上规范化Laplacian的一些相应性质，得到了带号图和它的基础图之间特征值的一个插值定理，并将其与Horn和Jobnson的一般性结论相比较，表明我们的结论是更好的．在本章，关于带号图的一个新的概念被首次引入，利用这个关键性的概念我们改进了Horn和Johnson的结果． 在第四章中，首先我们对当前在符号模式矩阵谱任意以及蕴含幂零的研究方面给出了简要综述，列出了大部分的研究成果．本章主要研究了蕴含幂零的符号模式，给出了5阶和7阶的双星符号模式蕴含幂零的完全形式，一些特殊形式的双星符号模式谱任意和惯量任意的必要条件也做出了说明。在最后一节，给出了7阶的叉图符号模式蕴含幂零的充要条件。