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本文以集值分析理论为基础,运用集值映射的KKM引理和E-凸性,讨论了几类集值映射的平衡问题,即KKM集值映射的平衡问题、集值映射导数的平衡问题、E-凸集值映射的平衡问题以及二元集值映射的平衡问题,得到了集值映射平衡问题解的存在定理,并把得到的结论运用到集值映射的不动点理论及变分包含理论。本文推广了已有平衡问题的一些结论,并且对目前稍有研究的集值映射导数的平衡问题作了进一步讨论,给出了一个新的结果。
本文的结构如下。第一部分把KKM引理运用到集值映射的平衡问题,讨论KKM集值映射的平衡问题及集值映射导数的平衡问题,得到了KKM集值映射平衡问题及集值映射导数的平衡问题的解的存在定理。我们的结论推广了单值映射的平衡问题,同时获得了集值映射导数平衡点存在的一个结果。KKM集值映射的平衡问题为求-x∈K,使得F(y,-x)∩R_≠φ,()y∈K,以及求-x∈K,使得F(y,-x)()R+,()y∈K.其中K为Hausdorff拓扑线性空间X中的非空凸集,F:K×K→2R为集值映射;集值映射导数的平衡问题为求(-x,-y)∈Graph(F)∩(K×Y)使得D2F(-x,-y)(u--x)()Y\Q,()u∈K,特别的D1F(-x,-y)(u--x)()Y\Q,()u∈K若F在(x,y)∈Graph(F)∩(K×Y)是伪-Lipshitz的,则DF(-x,-y)(u--x)()Y\Q,()u∈K,其中X,Y为赋范空间,K为X中的非空凸集,F:X→2Y为集值映射,DF(x,y),D1F(x,y),D2F(x,y)为F在(x,y)∈Graph(F)的导数。
第二部分讨论E-凸集值映射的平衡问题,即设X,Y为Hausdorff拓扑线性空间,K为X中的E-凸紧子集,M为Y中的闭齐次半空间,F:K×K→2Y为集值映射,求-x∈K,使得F(-x,E(y))()M,()y∈K以及求-x∈K,使得F(-x,E(y))∩cl(Y\M)≠φ,()y∈K,得到了E-凸集值映射的平衡问题解的存在定理,从而推广了凸集情形的结果,并把结论运用到不动点定理,得到了E-凸集上不动点存在的两个定理。
第三部分讨论了拓扑线性空间中凸集上二元集值映射的平衡问题,得到了二元集值映射平衡问题解的存在定理,即设X,Y为Hausdorff拓扑线性空间,K为X中的凸子集,M为Y中的开子集,F:K×K→2Y为二元集值映射,求-x∈K使得F(x0,-x)∩M≠φ。我们的结论推广了二元单值映射的相应结果。