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在20世纪早期，为了解决丢番图方程组或不等式组相关的问题，MacMahon提出分拆分析方法(即Omage算子)。1972年，作为分拆与有序分拆的推广，Stanley提出了P分拆。自1997年以来，分拆分析被Andrews赋予了新的生命，并被证明与目前分拆理论的研究密切相关。利用容斥原理，我们为计算Stanley关于P分拆上直和的生成函数推导出一个公式。这个公式简化了很多变形的平面分拆的计算，如多边形平面分拆，以及带对角线或双对角线的平面分拆。
本文通过多个的实例来阐述我们的方法，其中的一些实例是新的平面分拆的变形。κ-gon分拆是指包含κ个正整数的非递减的序列，满足最后一个元素不小于其它元素的和。通过分析非κ-gon分拆，我们推导出κ-gon分拆的多变量生成函数，与Andrews，Paule和Riese所给出的结果一致。另外，我们为Omega算子的计算提供了一个C++程序包，它的运行时间比E112程序包运行时间短。