本文对Hopf分叉系统的范式理论进行了较为深入的研究，运用矩阵表示法的思想在实数域内对非退化和退化二维Hopf分叉问题进行了研究，得到了原方程系数与范式系数之间关系的代数表达式。并将这一代数表达式用来计算单自由度非线性自激振动系统的渐近解，为求解非线性振动问题找到了一种简单，方便的新方法，而其精度当原方程中没有偶次阶齐次多项式时与K-B平均法相同。 对任意满足Hopf分叉条件的n维非退化和退化动力系统的范式问题进行了研究，由于我们将原方程的非线性项系数用“和式级数”来表示，极大的简化了范式系数的计算过程，得到了任意n维非退化和退化动力系统方程与范式方程系数之间关系的代数表达式，并将其用来研究多自由度非线性自激振动问题，为求解多自由度非线性振动问题开辟了一条新途径。由于用这种方法求解多自由度非线性振动问题只需进行简单的代数运算，因此，其计算过程非常容易、简单，并且容易实现计算机程序化(我们已径将求解过程编成REDUCE和FORTRAN程序)。 利用范式理论对常微分方程焦点量问题进行了研究，计算出了Hopf分叉方程的第四焦点量。将计算常微分方程焦点量问题的工作又向前推进了一步，为研究常微分方程的稳定性及Hilbert 16问题打下了基础。 作为本文所获得的理论结果的应用，对汽车转向轮非线性摆振方程进行了研究，找到了引起摆振的敏感参数和减小摆振幅值的主要参数；为消除摆振和防摆振设计提供了理论依据。