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本文主要对常截曲率流形中具有平行平均曲率向量子流形的Pinching问题进行研究,把前人的方法应运到一个新的张量上,再运用子流形几何的知识和技巧,得到如下一些新结果:
定理Ⅰ.令Mn是常曲率为c的黎曼流形中紧致可定向的子流形,h是平行平均曲率向量,对Mn上的每一个点x,定义函数K(x)是这一点的所有截面曲率的下界,则对(?)α∈[-1,1],有如下积分不等式成立:
其中θp,h定义见引言(1.3)式.
定理Ⅱ.设Mn是常曲率流形中具有平行平均曲率向量的紧致可定向超曲面,若Mn具有非负截曲率,则Mn是全脐超曲面或它的截曲率K=0.
定理Ⅲ.设Mn是常曲率流形中具有平行平均曲率向量的紧致可定向的伪脐子流形,
(i).若Mn的截曲率处处不小于,则是全脐
的或截曲率
(ii).若,则是全脐的或者
定理Ⅳ.设Mn是单位球面Sn+p中具有平行平均曲率向量的紧致可定向子流形,若,则Mn是一标准球面Sn(r),或者在后一种情形,我们给出了相应子流形的一些不完全分类.