【摘 要】
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科学与工程的很多领域如常微分方程和偏微分方程求解、信号处理、数字图像处理、排队网络、积分方程求解等都需要求解Toeplitz线性代数系统.大规模Toeplitz线性代数系统求解
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科学与工程的很多领域如常微分方程和偏微分方程求解、信号处理、数字图像处理、排队网络、积分方程求解等都需要求解Toeplitz线性代数系统.大规模Toeplitz线性代数系统求解方法的研究具有重要的理论意义和实际应用价值.本文主要对基于符号代数系统(如Maple、Matlab等)的五对角矩阵求逆算法和基于离散余弦变换/离散正弦变换的求解Toeplitz系统的新分裂方法进行了系统的研究.具体包括以下四个方面的内容:1.介绍Toeplitz矩阵的一些背景知识,然后介绍Toeplitz系统求解方法的发展历史以及最新进展.2.提出了基于符号代数系统(如Maple、Matlab等)的一般五对角矩阵求逆算法,并将其应用到五对角Toeplitz矩阵的求逆.并给出了数值例子.3.介绍了研究具有特殊结构矩阵的重要概念位移秩(displacement rank).进一步介绍最近提出的利用位移秩概念求解Toeplitz系统的位移秩方法.4.基于位移秩概念以及离散余弦变换与离散正弦变换, Kailath和Olshevsky [SIAM J. Matrix Anal. Appl., 2005]给出了Toeplitz矩阵的两种新的分裂.基于上述分裂,提出了求解Toeplitz系统的新分裂方法并讨论了新分裂方法的收敛性.进一步研究了最佳参数的选取以及SOR加速等迭代加速技术.并给出了数值例子.
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