反问题是现在数学物理研究中的一个热点问题,但是数学物理反问题的求解面临的一个本质性的困难是不适定性,主要是近似解的不稳定性,即方程的解(如果存在)不连续依赖于右端的数据,当右端的数据有误差时,其解与真解之间会产生很大的误差.求解不适定问题的普遍方法是正则化方法,如何建立有效的正则化方法及算法是反问题领域中不适定问题研究的重要内容.本文从一些实例出发,介绍了反问题和不适定问题的基本概念,并讨论了方程的Moore-Penrose广义解和Moore-Penrose广义逆,得出了线性紧算子方程的不适定性,即Moore-Penrose广义解的不稳定性的结论.为了得到线性紧算子方程稳定的近似解,介绍了不适定问题正则化的一般理论,以自伴紧算子的谱分析与紧算子奇异值分解为理论基础,利用奇异系给出了解的表达式,说明了紧算子方程不适定性的根源在于紧算子的奇异值趋于零的性质,由此通过引入正则化滤子函数来减弱或滤掉奇异值趋于零的性质对解的稳定性的影响,构造正则算子,从而提供了建立正则化方法的理论依据.文中以此为依据给出了一个正则化滤子函数,从而建立一种新的正则化方法,并讨论了正则解的误差估计及正则参数的选取问题,证明了这种方法使正则解的误差具有渐进最优阶.文中还介绍了两种重要的正则化滤子函数,并讨论了其对应的Tikhonov正则化和Landweber迭代法,这两种方法避免了奇异系的计算,在各类反方问题的研究中被广泛地采用.考虑到反问题的数值计算需要将问题离散化,化为有限维的问题来进行处理,而对于有限维算子的奇异系的计算已经有了相当成熟的各种算法,因此在反问题的数值计算中没有必要避开奇异系的计算,此时TSVD(谱截断)正则化方法是十分简单并相当有效的正则化方法.文中详细讨论了TSVD正则解的误差估计与正则参数的选取问题,通过正则参数的先验和后验选取,证明了TSVD正则解的误差具有渐进最优阶,并且通过具体的实例说明了TSVD正则化方法是一种计算量小,正则参数容易确定的求解不适定问题十分有效的方法.