【摘 要】
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近年来,关于分数阶微积分特别是分数阶微分方程的研究得到了广泛的关注.将整数阶微积分推广到实数阶或甚至可变阶,其所具有的奇异性和非局部性,非常适合描述（时间）延迟或记忆和遗传效应.由于分数阶微分方程的显式解析解通常是不可得的,因此设计高精度的数值方法来求解分数阶微分方程就变得尤为重要.但是在求解分数阶微分方程时通常会遇到两大困难,也是分数阶微分算子的两个非常重要的特性:1)分数阶导数算子的非局部性;
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近年来,关于分数阶微积分特别是分数阶微分方程的研究得到了广泛的关注.将整数阶微积分推广到实数阶或甚至可变阶,其所具有的奇异性和非局部性,非常适合描述（时间）延迟或记忆和遗传效应.由于分数阶微分方程的显式解析解通常是不可得的,因此设计高精度的数值方法来求解分数阶微分方程就变得尤为重要.但是在求解分数阶微分方程时通常会遇到两大困难,也是分数阶微分算子的两个非常重要的特性:1)分数阶导数算子的非局部性;2)分数阶微分方程的解在初始时刻往往具有奇异性.本文研究了几类Caputo型时间分数阶偏微分方程的（局部）间断有限元方法,分别构造了全离散的（局部）间断有限元格式,并严格证明了全离散格式的稳定性与先验误差估计.本文旨在利用均匀网格上的L1格式和非均匀网格上的L2-1σ（Alikhanov在文[4]中所介绍的）格式来离散Caputo时间分数阶导数,结合（局部）间断有限元方法处理空间方向,求解几类时间分数阶偏微分方程（时间分数阶对流方程、时间分数阶Burgers方程、时间分数阶四阶方程以及时间分数阶对流-扩散-反应方程）.其中考虑非均匀网格上的L2-1σ方法可以很好地处理时间分数阶偏微分方程的解在初始时刻的弱正则性.主要内容分为以下四个部分:首先,我们针对一维时间分数阶对流方程,利用非均匀网格上的L2-1σ方法来离散时间分数阶导数,同时结合空间方向上的间断有限元方法.在此基础上,通过构造合适的数值流通量得到时间分数阶对流方程的全离散间断有限元格式,并对全离散数值格式的稳定性和先验误差估计进行了证明.最后通过两个数值实验验证了前面的理论分析,表明非均匀网格上的L2-1σ方法对时间分数阶导数离散的有效性.其次,我们对于一维时间分数阶Burgers方程,考虑均匀网格上的L1格式来离散Caputo型时间分数阶导数,再结合空间方向上的局部间断有限元方法.在此基础上,通过构造合适的数值流通量得到时间分数阶Burgers方程的全离散局部间断有限元格式.其中对于非线性项的数值流通量,我们采用Lax-Friedriches流通量以保证数值格式的无条件稳定性.此外,我们还证明了线性情形下的先验误差估计.最后通过数值实验进一步验证了理论分析的正确性.然后,我们还研究了一维时间分数阶四阶方程的局部间断有限元方法.该方法同样基于时间离散上的非均匀网格上的L2-1σ方法,以及空间方向上的局部间断有限元方法.通过引入三个辅助变量,并设计合适的数值流通量,得到模型问题的全离散局部间断有限元格式.同时,我们对全离散数值格式的稳定性和先验误差估计进行了证明.最后通过数值实验,验证了前面的理论分析,并表明非均匀网格上的L2-1σ方法对于初始时刻带有奇异性的时间分数阶问题是有效的.最后,针对一维时间分数阶对流-扩散-反应方程,我们同样使用非均匀网格上的L2-1σ方法来离散方程中的时间分数阶导数,以克服方程在解的初始时刻的弱正则性问题.空间方向使用局部间断有限元方法离散,通过引入辅助变量并构造合适的数值流通量,得到全离散的局部间断有限元格式.同时,我们还证明了全离散格式的稳定性和先验误差估计.最后设计了几个数值实验,验证了该方法求解Caputo型时间分数阶对流-扩散-反应方程是收敛的和有效的.
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