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图的拓扑指数的研究来源于化学拓扑学与图论的结合.常见的图的拓扑指数有W指数(Wiener index)，Sz指数(Szeged index)，PI指数(Padmakar-Ivan index)，和Sd指数(Sadhana index).W(Wiener)指数，Sz(Szeged)指数和PI(Padmakar-Ivan)指数均用于反映有机分子的某些结构特征，它们在理论化学中都有着非常广泛的用处.基于Sz指数和W指数在描述无圈图时的一致性，2000年，Padmakar创建了另一种新的拓扑指数—PI指数(Padmakar-Ivan index)，以同时评估Sz指数和W指数.一个图G的PI指数定义如下:PI=PI(G)=∑e∈E(G)[neu(e|G)+nev(e|G)].对于边e=uv∈E(G)，neu(e|G)和nev(e|G)分别表示G中到点u和点v的距离更近的边的数目.然而，G中与点u和点v距离相等的边不计入e的PI指数中.
围绕图的PI指数，前人做了很多有意义的结果.如顶点数为n的树(T)的PI指数为(n-1)(n-2)，奇圈(C2n+1)的PI指数为2n(n+1)，偶圈(C2n)的PI指数为4n(n-1).以及一些典型的有机分子(如聚并苯，螺烯，聚苯等)的PI指数.现今PI指数主要致力于纳米技术尤其是碳纳米管的研究，取得了很多可观的研究成果.如PI指数用于描述有机分子的活性(QSAR)，性质(QRPR)，毒性(QSTR);计算纳米结构的PI指数等.
本文主要研究一些简单平面图的PI指数.通过对扇(Fn)及扇的一致膨胀图(UFFn)的结构进行研究，得出了其结构具有一定的对称性，进而得到了扇及其一致膨胀图的PI指数.给出了给定顶点数和叶子节点数的Halin图的PI指数，并刻画了具有相应PI指数的Halin图类.通过系统的分类研究得到了简单Pericondensed六方晶系的PI指数.