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本文从比较几何和子流形两个方面对Riemann几何进行了研究.讨论了Riemann流形的曲率与拓扑之间的关系.我们应用比较几何的方法研究了完备非紧且具有特定曲率条件的开Riemann流形，证明了在一定条件限制下，它就有有限拓扑型或微分同胚于n维欧氏空间； 考虑了Sn-+pp(c)中的紧致子流形M，若M的第二基本形式模长平方满足一定的Pinching条件，则M是全脐的；研究了球面的子流形的拓扑，若M的第二基本形式模长平方有上界，我们证明了M.同胚于一个球面。