该文分为三个部分,主要研究了线性互补问题的几个相关的公开问题以及猜想:(1)研究了Murthy等在[2]中提出的公开问题,即对任意的矩阵A,其扩充矩阵是否为Q<,0>-矩阵,给出了肯定的回答,得到充分矩阵的扩充矩阵是充分矩阵,并讨论了Graves算法,证明了若A是双对称的P<,0>-矩阵时,LCP(q,A)可由Graves算法给出;(2)研究了Murthy等在[6]中提出关于半正定矩阵的猜想,给出了半正定矩阵的一些充分条件,并研究了Pang猜想,得到了R<,0>-矩阵与Q-矩阵的二个等价条件,以及E<,0>∩Q-矩阵的一些性质;(3)研究了Danao在[25]中提出的Danao猜想,即,若A为P<,0>-矩阵,则A∈E<=>A∈P<,1><*>,我们给出了反例证明了此猜想当n≥4时不成立,指出了Murthy等在[20]中的一些错误,得到n=2,3时,A∈E<=>A∈P<,1><*>.即[25]中定理3.2中A∈P<,0>的条件可以去掉.最后,我们得到在A是C<,0>-矩阵或列充分矩阵的前提下,A∈E<=>A是几乎E-矩阵.