通过图中每个顶点一次且仅一次的回路称为哈密尔顿圈。存在哈密尔顿圈的图就是哈密尔顿图。哈密尔顿图是图论中的一个重要问题。截至目前,对哈密尔顿图的研究,已经有了丰富的结果,并且这些结果仍在进一步完善之中。本文对最小度是3的哈密尔顿图进行了研究。Entringer和Swart在1978年构造了这样一个图:最小度是3恰有唯一哈密尔顿圈含有某一条边的图,他们给出了一个11阶的这样的图。在第一章,我们将证明这类图的最低阶数是10,在证明中,我们引入了一个图G中关于某个哈密尔顿圈C的3度极小图来简化证明,然后从4阶到9阶依次证明都没有图符合以上条件,从而得证。图G中最小圈的长度叫做G的围长。一个围长是g的k正则图叫做(k,g)-图。一个(k,g)-图如果有最小的阶数称为(k,g)-笼子。塔特在1947年引入了笼子的概念。后来Daven和Rodger,Jiang和Mubayi独立地证明了所有的(k,g)-笼子是3-连通的。在第二章我们给出了(k,g)-笼子是3-连通的新证明。