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曲面ГH上的素测地线的计数问题是数论中一个很重要的问题.令πГ(x)表示范数不超过x的本原共轭类的个数,则素测地线定理可表述为πГ=x∫0dt/logt+E(li(x)+E(x),这里E(x)为余项.在很多情形下,考虑ψГ(x)=∑A(P)将更为方便,这里求和号取遍所有双曲共轭类{P}.对素测地线定理寻求好的余项估计是很多作者研究的目标.猜测的余项为E(x)=O(x1/2+ε).
对于Г=SL(2,Z)为全模群的情形,很多作者研究了素测地线定理的余项.上世纪50年代,A.Selberg[18]引进了Selbergzeta函数Z(s).Z(s)的性质与代数数域上的L函数的性质有许多相似之处.特别地,对Z(s),黎曼猜想是成立的,于是人们可以预期E(x)《x1/2+ε.但注意到Z(s)的阶为2,它比ζ(s)多了很多零点,因此上述估计又并非那么显然.作为Sclbcrg迹公式的一个推论,不难得到一个形如O(x3/4+ε)的余项.
Iwaniec[6]首先突破了3/4的界限.他证明了E(x)《X35/48+ε.他的证明用到了Selbcrg迹公式,Kuznetsov迹公式,Burgess对特征和的估计以及Maass波动形式傅里叶系数的均值估计等工具.
Luo和Sarnak[14]研究了关于特征值求和的振荡现象,他们得到了Σ|tj|≤Tvitj《T5/4V1/8log2T.作为推论,他们给出了余项O(x7/10+ε).Cai[2]通过改进Iwaniec的处理方法,将Luo和Sarnak的结果进一步改进至O(x71/102+ε).结合类数公式和Dirichlet L-函数的相关知识,Soundararajan和Young[20]证明了E(x)《x25/36+ε.
当Г为同余子群情彤,已知的结果却要少很多.Sarnak[15]曾经给出形如O(x3/4+ε)的余项.1994年,Luo,Ruduick和Sarnak[13]在Sclbcrg特征值猜想方面取得了重大进展.利用他们的结果,可以推出πГ(x)=li(x)=li(x)+O(x7/10+ε),
对所有SL(2,Z)的同余子群成立.
尽管如此,在已发表的文献中关于同余子群情形的结果并不多.在文章Bykovskii[1]和Soundararajan-Young[20]的启发下,本文讨论了关于同余予群Г(p)的素测地线定理,这坐p≥3为素数.我们得剑了一个渐进公式,作为推论,我们给出了余项O(x3/4+ε).当"P=1"时便得到Soundararajan和Young的结果.本文主要结果如下:
定理0.1设k(u)为满足∫+∞-xk(u)du=1及∫+∞-∞|k(j)(u)|du《j Y-j,紧支集在(O,y)的无穷次可微函数,x1/2+ε≤Y≤x/logx为一参数,则对Г=Г(p),我们有πГ(x)=li(x)+(1-1/p4∫(2)∞∑b=1μ(pb)/b2)∫Y0 uk(u)du+E(x;k)+Ο(Y1/2x1/3+ε),及ψГ(x)=x+(1-1/p4∫(2)∞∑b=11/p4μ(pb)/b2)∫Y0uk(u)du+E(x;k)+O(Y1/2x1/3+ε),这里E(x;k)=∑|tj|≤√x(logx)1/sj∫Y0(x+u)sjk(u)du+O(x1/2+ε
这里尽管P为素数,我们可从证明过程看出定理0.1对P=1是成立的,于是ψГ(x)=x+E(x;k)+O(Y1/2x1/3+ε)=x+O(x25/36+ε),这里用到了Luo-Sarnak的估计E(x;k)《x7/8+εY-1/4.此即为Soundararajan和Young关于模群时的结果.因此从这种意义上讲,我们的定理推广了Soundararajan和Young的结果.
在定理0.1中取Y=x3/4,可以得到如下结果:推论0.1对Г=Г(p),我们有πГ(x)=li(x)+O(x3/4+ε),ψГ(x)=x+O(x3/4+ε).