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本文致力于用KAM理论和弱KAM理论来研究可逆系统不变环面的保持性以及Hamilton系统的弱可积性问题.主要内容分为以下两个部分:第一部分用KAM理论研究可逆系统给定频率的不变环面保持性问题;第二部分用弱KAM理论研究Hamilton-Jacobi方程在Neumann边界条件下弱解的存在性.主要结构如下: 第一章首先介绍了KAM理论和弱KAM的理论背景与理论基础，然后回顾了经典KAM理论和弱KAM理论取得的研究成果，最后概括介绍了本文的主要工作. 第二章研究了可逆系统中固定频率的双曲型不变环面的保持性问题.通过引入外部参数和KAM迭代的方法，证明了如果频率映射ω在丢番频率ω0处有非零的Brouwer度，那么当扰动充分小时，可逆系统仍然存在频率为ω0的双曲低维不变环面. 第三章研究了可逆系统中椭圆不变环面的保持性问题.我们采用一种新的KAM迭代技巧，将非退化条件从KAM迭代中分离出来，在没有任何非退化条件或小分母条件的情况下得到了可逆系统的形式KAM定理，并应用这个形式KAM定理得到了一系列关于可逆系统固定频率不变环面保持性的相关结果. 在第四章中，我们考虑Hamilton-Jacobi方程ut(t,x)+H(x,Du(t,x))=0,在非紧流形Ω上的带齐次Neumann型边界条件的初值问题.利用弱KAM理论，我们证明了凸Hamilton-Jacobi方程在齐次Neumann边界条件下弱KAM解或者粘性解的存在性.