非线性函数在序列密码、分组密码、纠错编码和Hash函数的设计与分析中具有重要应用。为了抵抗差分密码攻击和线性密码攻击,序列密码中的滤波函数、分组密码中的S盒和Hash函数中非线性组件大都采用非线性函数来构造,同时非线性函数还与性能优良的纠错码的构造密切相关。作为一类具有高非线性度的函数,完全非线性函数成为许多研究者关注的焦点,其主要的研究内容集中在新的完全非线性函数的构造和等价分类、完全非线性函数在编码密码学中应用等问题。为构造新的完全非线性函数,研究完全非线性函数的原像分布特征具有十分重要的作用。本文主要讨论有限域上完全非线性函数的原像分布问题。针对一般有限Abel群和有限域上完全非线性函数的不同特性,分别应用初等数论、代数数论和有限域上的二次型理论作为工具,深入研究了当m = 3,4时,从n阶Abel群到m阶Abel群的完全非线性函数的原像分布特点;以及当Π(x)为有限域Fqm上的三类完全非线性函数时,Fq上完全非线性函数tr(aΠ(x))的原像分布特征。利用这些结果,我们得到一类基于Fqm上完全非线性函数的线性码的重量分布,回答了2005年C.Carlet和C.Ding提出的一个开问题,设计并构造了一类新的最优常复合码。取得的主要成果如下:(1)利用代数数论的方法,给出了从n阶Abel群到m阶Abel群的完全非线性函数存在的一个必要条件,特别地,当m = 3,4,5时,给出了不存在从n阶Abel群到m阶Abel群完全非线性函数的部分n的取值,得到了当p为素数,Π(x)为Fpm上任意完全非线性函数时,tr(aΠ(x))的原像分布。(2)利用初等数论的方法,给出了当m = 3, 4时,m阶群上完全非线性函数的原像分布特征。当m = 3时,把求解原像分布方程组与整数的二元二次型表示结合起来,从而给出原像分布方程组的一个通解,特别地,当m = 3,n = 3l时,得到了完全非线性函数的原像分布。当m = 4时,把求解原像分布方程组与求解方程4l2 = a2 + b2联系起来,给出m = 4时原像分布方程组的通解。(3)利用有限域上二次型理论,当Π(x)为有限域Fqm上的三类完全非线性函数时,刻画了从Fqm到Fq上完全非线性函数tr(aΠ(x))的原像分布特征,采用一种统一的方法,构造了Fq上一类新的常复合码,证明了当m为大于1的奇数时,所构造的常复合码在Luo-Fu-Vinck-Chen码限意义下为最优常复合码。同时指出2006年C.Ding基于完全非线性函数Π(x) = x2和Π(x) = x10 ? ux6 ? u2x2所构造的常复合码等价于我们所构造的两类特殊情形下的常复合码。(4)利用(2)中结果,给出了一类基于有限域F3m上完全非线性函数的三元线性码的重量分布,回答了基于完全非线性函数的线性码重量分布的一个开问题。同时,给出了三元线性码CˉΠ的重量分布特征。