【摘 要】
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在现实生活中,能够转化成图的相关理论来解决的实际问题不胜枚举.计算机科学中的通信网络、计算设备、数据组织、流量计算等问题都可以用图表示.图论不仅可以应用在分子化学
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在现实生活中,能够转化成图的相关理论来解决的实际问题不胜枚举.计算机科学中的通信网络、计算设备、数据组织、流量计算等问题都可以用图表示.图论不仅可以应用在分子化学和物理学中,在生物学和社会学中也有广泛的应用.图论应用之广,已使它成为现代应用数学中一门发展迅速的热门学科.设是n阶无向简单图,其中是图G的顶点集合,是图G的边集合.图G的邻接矩阵定义为一个n阶矩阵A(G)={aij},其中当顶点vi和vj相邻时aij=1；否则aij=0.定义图G的拉普拉斯矩阵为其中,是图G的顶点度对角阵,d(vi)表示图Q中顶点vi的度.定义Q为图G的无符号拉普拉斯矩阵(记作Q-矩阵),PQ(G,x)为Q-矩阵对应的特征多项式(记作Q-多项式).若PQ(G,x)的根全为整数,则称图G为Q-整谱图.本学位论文专门研究Q-整谱图,首先通过计算得出若干图类的Q-多项式,进而分析这些图类的Q-整谱性,从而发现了一些新的Q-整谱图类.文章分为以下几章：在第一章,我们首先介绍了图谱理论的研究背景,给出一些相关的图论概念、定义及记号,然后给出了文中用到的特殊矩阵的特征值、特征多项式的计算,并综述了目前关于Q-整谱图的研究现状.第二章给出了几个图类的Q-多项式计算及相关证明,这些图类包括：完全图的剖分线图、完全多部图、联图与笛卡尔积图.第三章包含了本文的主要结果,我们对完全3,4,5-部图的Q-整谱性进行了深入探讨,并得出了一系列完全t-部图为Q-整谱图的充要条件(t<5)；研究了联图的Q-整谱性,给出了某些特殊联图Q-整谱的充要条件,并在此基础上用相“联”的方式构造了无穷多个Q-整谱图；最后,论证了完全图的剖分线图、笛卡尔积图的整谱性.
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