本文在总结以往学者在弹性力学及流体力学有限元方法的基础之上,提出了基于分区伽辽金方程的变分方法。针对常规有限元方法导致弹性力学应力精度下降的问题,提出了一阶有限元改进算法。针对不可压Navier-Stokes方程求解的困难,提出了不含压力项的一阶流体动力学方程系统。并对高雷诺数下高质量比圆柱涡致振动现象进行了数值模拟和分析。本文主要包括以下一些工作:(1)提出了分区伽辽金方程,放松了分区交界面上位移、应力连续的条件。分析了弱形式降低连续性的现象。建立了基于分区伽辽金方程(分区加权残数法)的求解体系,为构造各种单元,特别是拟协调元、杂交元提供了理论基础。对于弹性力学问题,在统一的构架下,基于分区伽辽金方程,导出了分区弱形式、分区广义虚功方程和分区变分原理。分析了积分形式解的组成模式。提出了选取权函数要满足的条件。基于分区伽辽金方程的变分方法为其后的一阶有限元方法提供了理论依据。(2)将一阶有限元方法应用到二维、三维弹性力学问题中。首先推导了弹性力学问题的一阶弱形式,然后使用Free Fem++软件完成有限元编程工作。并且采用典型算例来比较一阶算法和常规有限元算法的精度。通过数值算例,验证了一阶有限元方法使应力精度与位移精度同阶,应力的精度得到了提高。同时数值计算的结果还表明采用一阶算法,达到相同的应力精度,比常规有限元法花费的时间要少。一阶有限元算法为有限元应力精度的提升提供了一个新的思路。(3)介绍了不可压Navier-Stokes方程,介绍了特征线分裂算法,并编程将其用于二维圆柱绕流的计算模拟。并将一阶有限元解法应用到不可压粘性流体计算中。对于不可压粘性流动,提出了不含压力项的一阶流体动力学方程系统。基于有限元方法,对应力和速度采用同阶插值,对两平行平板间的稳态粘性流动及二维非定常圆柱绕流进行了数值计算,并分别和精确解以及标准测试算例进行对比。采用有限元方法对提出的不含压力项的一阶流体动力学方程系统进行求解,可以对应力和速度采用同阶插值,从而可以避免Navier-Stokes方程求解过程中反复使用速度导数而导致精度下降的问题。(4)研究了高雷诺数下高质量比圆柱的涡致振动问题。对所使用的流体SST湍流模型理论以及一些相关的参数做了详细的介绍。采用基于伽辽金最小二乘有限元法的CFD计算软件,通过使用质量-弹簧-阻尼系统以及SST湍流模型进行了流固耦合数值模拟。流固耦合分析结果与文献试验结果基本吻合,验证了采用的流固耦合计算方法的正确性。从而可以为该类问题的数值模拟提供参考。数值模拟的结果表明:在计算边界层由于强烈逆压梯度而引起的分离流动问题时,采用SST湍流模型是比较合适的;并且,在高雷诺数下,高质量比圆柱会出现高幅分支现象,从而为该类工程问题的研究提供参考。