随着计算机技术的发展和数字技术的不断成熟,数字图像处理技术被广泛地应用到各个领域,该项技术与硬件设备的结合使用极大地促进了人类社会的进步。在数字图像处理的研究范畴中,图像恢复是一个重要的研究领域,包括了图像的变换、滤波、复原和修复等。图像修复属于图像恢复领域,它不仅是数字图像处理中的研究内容,也是计算机、数学、信号理论以及各种电子信息学等研究领域之一。图像修复主要对图像上信息缺失或者损毁区域,按照特定规律进行填充,恢复图像原始面貌,满足观察者的视觉感受,最早被应用于文艺复兴时期修复艺术作品,达到保护文物和艺术作品的目的。在各项技术和数学理论的发展背景下,图像修复不仅在文物保护方面有所贡献,还被用于影视特技制作,修复老旧照片,去除图像中的文字或障碍物,隐藏错误视频,医学图像处理等方面。对这一领域的研究,国外起步较早并蓬勃发展,国内尚处于起步阶段。按照图像受损程度的大小,目前图像修复的技术手段分为基于变分偏微分方程、基于纹理合成和基于图像分解三种,本文旨在研究基于变分偏微分方程的图像修复技术的相关问题,主要的工作包括以下几个方面:(1)概述图像修复的产生和发展及国内外的研究现状,针对相关算法和模型进行综述。(2)介绍图像修复的数学常识和数字图像技术的理论基础。数学知识包括最佳猜测原理,贝叶斯框架理论,能量泛函,高斯迭代,变分理论,二阶方向导数方法以及中心差分格式法等。图像知识有图像的退化模型,有界变分空间,图像的扩散方式和图像修复算法的评价标准。(3)列举图像修复的经典算法和近几年国内外学者提出的具有代表性的改进算法。经典算法主要包括:全变分算法,CDD算法和P-Laplace修复算法。改进算法包括:改进的TV算法,自适应CDD算法和高阶TV算法等。以TV模型为例,分析此类修复算法的扩散方式,欧拉-拉格朗日方程最优化求解和数值实现方法等。从理论上和实验数据分析经典的修复算法的优点和不足,剖析原因,给出解决方法。(4)针对经典算法的不足,调节梯度方向和梯度正交方向的扩散系数,提出优化算法,包括自适应P-Laplace模型,基于八邻域的自适应高阶变分模型和自适应混合模型。实验结果表明,相比传统的修复算法,几种改进算法在修复时间和修复评价方面有很大地提高,验证了改进算法的有效性与合理性。