【摘 要】
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在微分几何中,Laplace算子在调和积分理论和Bochner技巧中起着重要的作用.近二十年来,在著名的几何学家陈省生先生的倡导下,实和复Finsler流形上的整体微分几何取得了显著的进展.Laplace算子在Finsler流形上也起着重要的作用.到目前为止,实Finsler流形上的Laplace算子的研究已经取得了许多成果,复Finsler流形上的Laplace算子的研究也有一些结果.本文的目的
【基金项目】
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国家自然科学国家自然科学基金； 国家自然科学基金资助；
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在微分几何中,Laplace算子在调和积分理论和Bochner技巧中起着重要的作用.近二十年来,在著名的几何学家陈省生先生的倡导下,实和复Finsler流形上的整体微分几何取得了显著的进展.Laplace算子在Finsler流形上也起着重要的作用.到目前为止,实Finsler流形上的Laplace算子的研究已经取得了许多成果,复Finsler流形上的Laplace算子的研究也有一些结果.本文的目的是研究强拟凸复Finsler流形的Laplace算子及其应用.本文共分为四章.第一章介绍了本文的研究背景和复Finsler流形的相关知识.第二章,首先在一个强拟凸复Finsler流形（M,F）的全纯切丛T1,0M上引进带有两个参数a>0,b≥ 0的一族Hermite度量Ga,b,称之为g-自然度量.它包括了Sasaki-Matumoto度量和Miron度量.定义了g 自然度量Ga,b关于复Rund联络的水平Laplace算子□h和垂直Laplace算子□v.给出了□h,□v的关系,并且得到了g-自然度量Ga,b关于复Rund联络的Hodge-Laplace算子□的精确表达式.进一步,又研究了度量Ga,b的全纯Killing向量场.第三章,在一个紧致的强拟凸复Finsler流形（M,F）上直接定义了（p,q）-微分形式的一个整体内积,从而可以定义（?）算子的对偶算子（?）*算子和Laplace算子△.该Laplace算子可以看做Hermite流形上Laplace算子的推广.其次,我们给出了该Laplace算子的显示表达式,证明了该Laplace算子是自共轭的椭圆算子,并且Hodge分解定理成立.第四章,首先研究了强拟凸复Finsler度量F的对偶度量F*和Legendre变换L.其次得到了函数的非线性Laplace算子和全纯S-曲率的关系.进一步,证明了完备的强拟凸复Finsler流形（M,F）上任意两点之间存在极小测地线连接并且距离函数r的梯度▽1r满足F（▽1r）= 1.最后给出了函数的非线性Laplace算子的一些比较定理.
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