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本文由三章组成.
第一章给出一个S-系余直积的充要条件.由于一般S-系范畴与中心S-系范畴中的余直积表现形式有所不同,因此许多在中心S-系范畴中成立的结果无法在一般S-系范畴中实现.在中心S-系范畴中,余直积表现为零直并,我们得到:(A,(jα)α∈I)是(Aα)α∈I的余直积当且仅当()α∈I,存在唯一的S-态qα:A→Aα满足:(1)qβjα=δαβ1Aα;(2)()θ≠x∈A,存在唯一的β∈I,使得jβqβ(x)=x.由于一般系范畴中,一簇S-系的不交并是它们的余直积,而任意S-系与一元S-系的不交并含有零元,因此可将上述余直积的充要条件推广到一般S-系范畴中,于是得到:(A(jα)α∈I)是(Aα)α∈I的余直积当且仅当()α∈I,存在唯一的S-态qα:A→A0α满足:(1)qβjα=δαβ1Aα;(2)()x∈A,存在唯一的β∈I,使得jβqβ(x)=x.
第二章研究S-系中关于张量积的零化子.在S-系上首次定义了张量积中的零化子.对左S-系M和右S-系U,称AnnM(U)={(m,m’)∈M×M|u(×)m=u(×)m’,()u∈U}是U在M中的零化子.讨论了零化子的若干性质,得到:左S-系M不可分当且仅当AnnM(S/I)=(IM×IM)∪△M(其中I是半群S的任意理想,△M是M上的恒等关系).如果AnnM(U)=△M,则称U是M-忠实的.如果对于任意左S-系M,都有U是M-忠实的,就称U是完全忠实的.我们证明下述命题是等价的:(1)U是M-忠实的;(2)对每一个M的不可分子系T,U是T-忠实的;(3)对任意S-态f:SM→SN,如果1U(×)f是单同态,则f是单同态;(4)对任意S-态f:SN→SM,都有AnnN(U)()Kerf.相类似的结论对U完全忠实同样成立.另外本章讨论了忠实S-系(完全忠实S-系)的性质,并刻画了忠实S-系(完全忠实S-系)的结构,得到:所有右S-系是完全忠实的当且仅当所有一元右S-系是完全忠实的当且仅当S={1}.本章最后给出了零化子与生成子,上生成子之间的一些联系.
第三章讨论L-S-系中的正合列.本文借助L-模中的方法,给出了L-S-系及其正合列的定义,得到:对左S-系A,B,μ∈L(A),η∈L(B),序列μ(s→)μⅡη(π→)η0短正合当且仅当μ*=A,η*=B.本章中首次引入L-S-系中两个短正合列之间的弱同构与同构.得到:如果存在S-态h:A2→B,满足gh=1A2,h(μ2)()η,且A1中不含零元,则L-S-系中短正合列μ1→μ1Ⅱμ2→μ2弱同构于短正合列μ1→η→μ2.并举例说明“A1中不含零元”这一条件不能少.最后本章给出L-中心S-系中相对应的若干结果.