透气和热传导是纺织材料中的两类扩散问题。在日常生活中,纺织品的透气性、传热性能和人体的舒适性紧密相关。航空服装、消防服等功能性纺织品的设计往往需要耐高温性能的纤维材料。因此,纺织品材料的扩散性能引起了人们的广泛关注。从理论角度分析织物的扩散机理,用数学模型去表征织物的透气性能和热传导性能是一项有意义的工作。由于纺织品材料的结构复杂,纺织材料中的扩散现象往往要涉及到包括热学、力学、纺织材料学等交叉学科的知识,目前的工作主要以实验研究为主。本文以分形和分数阶微积分理论为工具,建立了织物中扩散问题的力学模型、提出了求解分数阶模型的非线性技巧,采用实验和理论结果相互验证的方法研究了机织物中的反常扩散问题。本文具体地分为如下几个章节:第一章介绍了多孔介质的定义、多孔材料的几何结构以及常用的表征方法。对于多孔材料中的扩散问题,常规的研究方法基于Fick定律、布朗粒子运动等。事实上,多孔材料的几何结构复杂,很多扩散现象呈现反常,不再服从连续介质力学下的Hick定律。本章介绍了研究这类非Fick现象的历史和方法。分形和分数阶微分模型是二种研究多孔介质反常扩散的方法。第二章利用分形理论研究了织物的透气性。本章首先介绍了分形的特点和Hausdorff分形维数的基本理论,然后从织物的孔隙结构和透气率讨论了织物的透气性。在孔隙的结构方面,分形的层次结构和织物孔隙的多尺度结构相一致。织物材料的多孔结构可以用分形来表征。分形维数是表征织物孔隙结构的重要参数。对于机织物而言,织物的经纬分布决定了织物孔隙的分形维数。在织物的透气率表征方面,研究织物透气性的传统方法都是基于Darcy定律和经典的哈根-泊萧叶方程。事实上,传统的研究方法不满足连续介质力学的基本假设。基于织物孔隙的分形结构,本章提出了修正的哈根-泊萧叶方程,利用实验数据画出了平纹机织物的透气率-孔隙半径曲线,拟合出了织物孔隙的分形维数。同时,本章利用分形理论计算出平纹机织物孔隙的分形维数,并且和实验拟合出的孔隙分形维数作了比较。本章还通过平纹织物的透气率-织物厚度数据,确定了织物中气流迹线的分形维数,得到了描述平纹织物透气率的修正的哈根-泊萧叶方程具体形式。实验结论表明,与经典的哈根-泊萧叶方程相比,平纹织物的透气率分别和截面半径、织物的厚度满足更一般的幂律关系。第三章介绍了分数阶微积分的基础理论。基于织物孔隙的分形结构,并利用分数阶积分理论,提出了坐标孔隙率的概念和机织物坐标孔隙率的计算方法,建立了分形正方形和分形圆面的坐标孔隙率理论模型,并借助于阶梯曲线进行了解释说明,研究得出:（Ⅰ）机织物的孔隙率是和织物孔隙分形维数相关的物理量;（Ⅱ）孔隙率和分形介质的尺度相关。本章还将坐标孔隙率的方法和前人利用有限分形表征孔隙率的方法做了比较,并提出了一种计算不完全分形介质的一般孔隙率模型。第四章将分数阶热传导方程用于研究纺织材料的热扩散问题,分为对含有空气层的织物传热实验研究、量纲分析方法和有限差分方法确定热扩散系数以及热扩散方程的数值模拟。具体地,（1）本章采用实验和理论相结合的思想,提出了研究含有多层空气层的织物传热方法,实验数据和分数阶模型结合的比较好;（2）本章利用量纲分析方法,分析得到了反常扩散系数的分数维量纲,用差分方法确定了热扩散系数的值;（3）本章利用分数阶方程的变分原理,首次提出了分数阶变分迭代算法。本章还将Adomian分解法推广和应用到反常热扩散方程。分数阶变分迭代算法能够有效地识别拉氏乘子,用于求解分数阶微分方程的分形初边值问题。利用该算法,本章对带有源项和变系数反常热扩散方程进行了数值模拟。