本文研究了几类二阶椭圆偏微分方程（组）的Dirichlet边值问题.其中涉及两类微分算子，即Monge-Ampère算子和Laplace算子.前者是典型且重要的完全非线性二阶微分算子，与这类算子相应的Monge-Ampère型方程的研究已有两百多年的历史.法国数学家Monge和Ampère分别在1784和1820年考虑了这类最初源自几何问题的方程.后来陆续有许多问题与这类方程发生联系(Minkowski和Weyl问题，Louwner-Nirenberg问题和最优运输问题等).　　 一直以来，关于椭圆Monge-Ampère方程组的研究比较困难，结果也很少.在第二章，我们考虑简单耦合的系统:detD2u=f(v)，x∈Ω;detD2v=g(u)， x∈Ω;u=v=0， x∈(a)Ω.　　 其中Ω是Rn中的区域，f，g满足一定条件.问题可以看作寻找两个凸函数满足一定的关系.此前关于这类问题只有较弱的存在性结果.我们充分利用了解耦的思想，结合锥上的不动点定理和一个推广的Krein-Rutman定理，很好地改进了这类问题的存在性结果.此外还讨论了解的不存在性，唯一性和正则性.　　 在第三章我们考虑了更复杂的系统:detD2u=f(u，v)，x∈Ω;detD2v=g(u，v)， x∈Ω;u=v=0, x∈(a)Ω.　　 关于这类系统只有特殊区域（球）上的结果.所使用的方法不能讨论一般区域的情形.我们希望在一般区域上讨论系统的分歧问题.然而关于系统的特征值问题尚无结果.我们合理且有效地定义了方程组的特征值问题，然后运用分歧理论获得了这类系统可解的充分条件（f，g满足的增长条件）.我们的结果可以推广到含多个方程的系统.　　 对于含Laplace算子的半线性椭圆方程，我们在第四章考虑了一类带凸-凹非线性项和可变号权函数的问题.这类问题的研究源于1994年Ambrosetti- Brezis-Cerami的工作.他们考虑了如下方程:{-Δu=up-1+λuq-1， x∈Ω;u＞0， x∈Ω;(1)u∈H10(Ω)其中Ω是RN中有界区域，N≥3，1＜q＜2＜p≤2*=2N/N-2，λ为正的参数.他们证明了存在Λ＞0使得方程(1)在λ∈（0，Λ）时至少有两个正解，在λ=Λ时至少有一个正解，而在λ＞Λ时不存在正解.我们考虑了非线性项带可变号权函数的情形并得到多解性结果.主要关心的是这类问题的Nehari流形.尽管在处理时把Nehari流形压缩到单位球面而使用纤维方法，但实际上我们考虑了参数变化和权函数变化时Nehari流形的变化，获得了对这类问题的Nehari流形较为深入的认识.　　 在第五章，我们把第四章中的方法（纤维映射-Nehari流形技巧）应用到一类特殊的非线性Schr(o)dinger系统的非齐次扰动问题:{-△u+λ1u=μ1u3+βuv2+f(x)， x∈Ω;-△v+λ2v=μ2v3+βu2v+g(x), x∈Ω;u=v=0， x∈(a)Ω.　　 其中Ω是RN中有界区域，N≤3，λ1，λ2，μ1，μ2和β均为正实数.f(x)，g(x)满足一定的可积性条件，且都不恒为零.我们证明了在扰动较小时两个非平凡解的存在性.我们的方法给出了适合几类非齐次问题的统一处理.