随机分形是融概率论、经典分析和几何学于一体的新兴数学分支.随机过程样本轨道的分形性质是随机分形理论的重要组成部分和活跃的研究方向.鉴于严格稳定过程(strictly stable process)的很多良好性质和结构，很有必要将其推广到更一般情形而讨论其相关的分形性质.本文主要研究了膨胀稳定过程(dilation-stable process)象集和图集的确切Hausdorff测度函数和Packing测度函数，部分解决了肖益民提出的关于算子稳定过程(operator stalble process)象集的确切Hausdorff测度函数的问题.我们同时也建立了膨胀稳定过程逗留时、首离时的lim sup型重对数律.另外，本文还给出了两个独立的严格稳定过程象集的乘积集的确切Hausdorff测度函数.下面分两方面对此进行阐述： 膨胀稳定过程是一类指数为对角矩阵的算子稳定过程，也可以说是严格稳定过程关于阶的一种自然推广，具有较强的实际背景.因此，膨胀稳定过程的样本轨道的分形性质的研究具有很大的理论意义和应用价值.具体而言，本论文首先猜测类型A的膨胀稳定过程的象集的确切Hausdorff测度函数的表达式，并证明之.在下界的证明中我们主要是定义一个Borel测度，然后利用密度定理这一有利工具.密度定理是我们研究测度性质的非常有效的手段.在上界的证明中我们需要借助逗留时的一些性质，把状态空间分为好的和坏的立方体去覆盖过程的样本轨道，然后估计其上界，其证明过程比较复杂.因为膨胀稳定过程的结构比严格稳定过程要复杂的多，也不同于稳定分量过程，它的每个分量不要求相互独立，所以这给我们进行一些精确的概率估计带来了困难.但是，在证明的过程中我们也得到其他一些有趣的结果.比如，建立了此过程逗留时、首离时的lim sup重对数律.但是当我们考虑图集的确切Hausdorff测度函数时，发现上述方法在证明上界时很难过去，因此还需要引入新的研究方法.后来我们借鉴分数Brown运动图集的确切Hausdorff测度函数的证明方法，选取具有特殊性质的小区间去覆盖时间[0，1],然后通过技巧复杂的计算估计其上界.证明的过程中我们需要用到算子稳定过程轨道是β阶有界变差的和一些重要的概率估计，这给我们证明带来了一定难度.至于象集和图集的Packing测度函数的研究主要是借鉴严格稳定过程的研究方法. 其次，我们还研究了两个独立的严格稳定过程象集的乘积集的确切Haus-dorff测度函数.1994年，胡晓予给出了两个独立的稳定从属过程且阶介于0，1之间的象集的乘积集的确切Hausdorff测度函数.采用新的方法，我们发现这个结果可以推广到一般的情形，对任何两个独立的严格稳定过程都成立.