本文着重研究子流形的平均曲率流与微分球面定理.主要内容包括曲率积分条件下一般黎曼流形中超曲面与高余维子流形平均曲率流的延拓性定理，曲率积分拼挤(pinching)条件下欧氏空间中超曲面平均曲率流的收敛性定理，欧氏空间中高余维平均曲率流在曲率积分拼挤条件下的收敛性定理，欧氏空间中子流形的微分球面定理，第k个Ricci曲率拼挤条件下黎曼子流形的微分球面定理．　　 本文第二章研究了曲率积分条件下超曲面平均曲率流的可延拓性问题．1978年，K.Brakke[5]首先从几何测度论的角度研究了平均曲率流．八十年代，G.Huisken[33，34，35]系统研究了欧氏空间、球面和一般黎曼流形中超曲面的平均曲率流．Huisken[33]证明：若欧氏空间中超曲面的第二基本形式关于时间一致有界，则平均曲率流可以延拓．N.Se(s)um[51]运用爆破(blow up)的方法研究了Ricci流的可延拓性问题，证明：若黎曼流形的Ricci曲率关于时间一致有界，则Ricci流可以延拓.最近，B．Wang[68]给出了曲率积分条件下Ricci流的延拓性定理.我们研究了曲率积分条件下超曲面平均曲率流的延拓性问题，证明：若平均曲率关于时空的积分有限，且第二基本量有下界或初始超曲面的平均曲率有正下界，则平均曲率流关于时间可以延拓．这一结果将Huisken[33]的欧氏空间中超曲面平均曲率流可延拓的逐点拼挤条件拓广为黎曼流形中超曲面平均曲率流可延拓的整体拼挤条件.　　 第三章研究了一般黎曼流形中高余维子流形平均曲率流的可延拓性问题.高余维的平均曲率流是平均曲率流研究中极为困难的情形，目前关于高余维平均曲率流的研究结果较少．M.T．Wang，K.Smoczyk，J．Y.Li，J．Y.Chen，Y.L．Xin，B．Andrews和C．Baker等人分别研究了几类高余维的平均曲率流[2，16，63，65，70，71，72，73，80].本章将曲率积分条件下超曲面平均曲率流的可延拓性问题拓广为一般黎曼流形中高余维平均曲率流的情形，我们证明：如果平均曲率在时空上的积分有限，且子流形的第二基本形式模长与平均曲率满足一定的关系式，那么黎曼流形中高余维平均曲率流的解关于时间可以延拓．　　 第四章证明了曲率积分拼挤条件下欧氏空间中超曲面平均曲率流的收敛性定理．上世纪八十年代，Huisken[33]获得了关于平均曲率流收敛性的著名定理：若欧氏空间Rn+1中平均曲率流的初始超曲面是凸的，则平均曲率流在有限时间内收敛到一个圆点．应用第二章给出的平均曲率流的延拓性定理，我们将逐点拼挤条件下超曲面平均曲率流的Huisken收敛性定理推广为欧氏空间中超曲面平均曲率流在曲率积分拼挤条件下的收敛性定理，证明：如果平均曲率流初始超曲面的无迹第二基本形式的Lp范数满足某一拼挤条件，那么平均曲率流在有限时间内收敛到一个圆点．　　 第五章研究了欧氏空间中高余维平均曲率流在曲率积分拼挤条件下的收敛性问题．M.T．Wang[71]证明了图子流形平均曲率流的收敛性定理．K.Smoczyk[63]证明了Lagrange子流形平均曲率流长时间解的存在性．最近，B．Andrews和C．Baker[2]证明了逐点拼挤条件下欧氏空间中高余维平均曲率流的收敛性定理．作为第四章工作的进一步深入，本章将Andrews和Baker的结果推广为整体积分拼挤条件下的收敛性定理．对于欧氏空间中的高余维平均曲率流，我们证明：如果初始子流形的无迹第二基本形式的Lp范数满足一定的拼挤条件，那么平均曲率流在有限时间内收敛到一个圆点．根据这一结果，我们得到了欧氏空间中紧致子流形在曲率积分拼挤条件下的微分球面定理．　　 第六章研究了黎曼子流形的微分球面定理．球面定理是曲率与拓扑研究领域的重要研究方向之一．二十世纪五十年代以来，许多著名的几何学家在这一领域做出了卓越的贡献[4，8，11，56，85，92，96].最近，H.W.Xu，J．R．Gu和E．T．Zhao[85，92]证明了第二基本形式拼挤条件下完备子流形的若干微分球面定理．运用曲率估计、稳定流消没定理和Ricci流收敛性定理，我们证明第k个Ricci曲率拼挤条件下黎曼子流形的若干微分球面定理．