本文对关于流体力学中产生的跨音速激波这一非线性现象的稳定性的数学理论进行了一些研究。证明了跨音速激波关于上游流场及直楔边界的扰动是条件稳定的。在此基础上，对激波在两种介质分界面发生正规折射时产生的跨音速激波的稳定性与超音速流体绕锥体流动产生的跨音速激波的稳定性进行了研究。主要研究内容如下： 第一章是绪论。介绍了关于跨音速激波稳定性的数学理论研究的物理、数学背景，并概要说明本文的主要结果。 第二章是预备工作。引入了加权Sobolev空间，并在其中建立某些特殊的一阶线性椭圆型方程组边值问题解的存在性、唯一性与先验估计。 第三章以二维定常Euler方程组为模型对反射波与折射波均为跨音速激波的反射-折射结构的稳定性进行研究。当激波在两种介质的分界面发生折射时，会产生复杂的反射-折射结构。若激波的入射角小于某个临界值，分界面将变为折线，而从激波与分界面的交点出发存在三个非线性波：入射激波、折射激波和反射波。在众多可能性中，这一章主要研究反射波与折射波均为跨音速激波的情形，证明了这一反射．折射结构关于入射激波和折射激波前的流场的扰动是条件稳定的。 第四章以轴对称定常位势流方程组为模型对超音速流体绕圆锥流动产生的跨音速激波的稳定性进行研究。当超音速流体遇到顶角小于某一临界值的圆锥时会产生连体激波(即激波与圆锥顶点相连)，同楔体绕流类似，可能产生的既满足Rankine-Hugoniot条件也满足熵条件的激波有两个；与楔体不同，激波后的流场不是常状态。研究了激波后完全是亚音速流场的跨音速激波的稳定性，证明了对1<γ≤ 2的多方气体，以及给定的激波后流体速度方向，当来流的Mach数充分大时，相应的跨音速激波关于上游流场与圆锥边界的扰动是条件稳定的。