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本文主要研究正倒向随机系统的混合最优控制问题及在经济中的应用.分别针对倒向随机混合控制系统的最优控制问题、由倒向随机微分方程驱动的非零和混合微分博弈问题、正倒向随机系统的混合最优控制问题及其在经济中的应用进行了深入研究.
主要的学术贡献包括:首次给出由倒向随机混合控制系统驱动的最优控制问题存在唯一解的充分必要条件，给出了具有平均场形式的最优控制反馈表达且得到了最优状态满足一类平均场倒向随机微分方程，解释了最优控制和最优状态中出现平均场的主要原因;得到了纳什均衡开环策略存在唯一的必要条件以及Arrow充分条件，并基于解耦的Riccati方程以及微分方程得到正倒向随机混合控制系统存在唯一的反馈形式，并将结果应用到投资组合中.根据非线性数学期望与凸风险度量及倒向随机微分方程之间的关系，可将一类安全投资和网络保险问题等价转化为一类由正倒向随机混合控制系统驱动的最优控制问题来解决，得到了由正倒向随机微分方程驱动的混合最优控制问题存在唯一解的充分必要条件.针对非Lipschitz条件下的平均场倒向随机微分方程，结合皮卡尔迭代方法及Bihari不等式得到了其解的存在唯一性，此结果为研究由平均场倒向随机微分方程驱动的混合最优控制问题提供了理论基础.
主要学术创新点包括:针对倒向随机混合控制系统，首次提出了受控系统中同时含有确定控制和随机控制的最优控制问题，对于线性二次情形，得到了最优控制的反馈形式且最优状态满足一类平均场倒向随机微分方程，并将结果应用到一类产品管理问题中.针对倒向随机混合系统的微分博弈问题，首次在Arrow充分最优的条件下得到了均衡点满足的必要条件和充分条件，借助于新引入辅助方程以及解耦方法，建立了系统状态与伴随过程之间的关系，进而得到均衡点与状态之间的关系，并将结果应用到房屋抵押以及财富管理问题中;首次将正倒向随机混合最优控制理论应用到一类安全投资和网络保险问题中.
本文具体研究内容，研究成果以及创新点按章节顺序如下叙述:
1.研究由倒向随机混合系统驱动的最优控制问题及在线性二次情形、产品管理问题中的应用.首先利用凸变分原理以及随机最大值原理，给出非线性情况下倒向随机混合最优控制满足的充分条件和必要条件.接下来，根据非线性的情况讨论线性二次情形，通过随机最大值原理得到一个候选最优控制，由充分条件可以验证其最优性.针对耦合问题，采用解耦方法可以得到反馈形式的最优控制.进一步得到，最优控制不仅仅依赖于状态方程还依赖于带有期望的状态，且最优状态满足平均场倒向随机微分方程.最后，通过分别讨论仅含随机控制的情形以及仅含确定控制的情形，可以得到最优状态中产生平均场的主要原因在于当状态方程中只含有确定控制时，其代价泛函中既含有随机控制又含有确定控制.进一步将这一结果应用到产品管理问题中.创新之处在于:相比前人结果，最优控制是由平均场倒向随机微分方程显示表达，且此平均场倒向随机微分方程自然产生于对不带有平均场的倒向随机微分方程驱动的混合最优控制问题的研究.
2.研究由倒向随机微分方程驱动的随机非零和混合微分博弈问题.与仅含有随机控制策略情形相对比，利用凸变分方法，建立了倒向随机混合微分博弈问题的最大值原理.进一步通过验证Arrow条件得到均衡点满足的充分条件.通过一个数值例子说明Arrow条件中凸性的必要性.对于线性二次情形，由对偶原理得到一个非经典的正倒向随机微分方程，在一定条件下，通过引入两个新的方程组，得到了此正倒向随机微分方程解的存在唯一性.针对均衡点与状态之间的关系，利用解耦方法、Riccati方程以及微分方程的解，得到了均衡点与最优状态之间的关系.需要指出的是，所得结果为研究受政府策略影响的微分博弈问题，最优投资组合博弈问题以及时间不一致平均场控制系统博弈等问题奠定了基础.
3.应用随机最优控制理论和凸函数的一些理论研究正倒向随机混合最优控制问题.对于部分耦合的受控正倒向随机混合系统，利用随机最大值原理以及通过引入两个新的伴随方程，给出了最优控制存在且唯一的必要条件和充分条件，并得到基于两个解耦Riccati方程以及五个微分方程的最优控制显式解.通过解耦方法以及先找状态与伴随之间的关系再去寻找伴随与状态之间的关系的方法，进一步得到了最优控制的反馈形式.创新性体现在此问题是受到金融市场中安全投资和网络保险问题的启发，首次研究了正倒向随机混合最优控制问题，并根据Peng的非线性数学期望、倒向随机微分方程解以及凸风险度量之间的关系，把一类安全投资和网络保险问题等价转化为正倒向随机混合系统的最优控制问题.这些结果完善和改进了随机混合控制理论.
4.对于由倒向随机微分方程驱动的随机混合最优控制问题以及微分博弈问题，均会产生一类平均场倒向随机微分方程，受此启发研究平均场倒向随机微分方程解的存在唯一性问题.利用皮卡尔迭代以及伊藤公式推得状态方程序列的估计，进一步通过构造两列单调的函数列得到解的存在性.结合Bihari不等式推得方程解的唯一性.其创新点是在非Lipschitz条件下，得到平均场倒向随机微分方程解的存在唯一性，为研究非Lipschitz条件下正倒向随机混合最优控制问题奠定了理论基础.
主要的学术贡献包括:首次给出由倒向随机混合控制系统驱动的最优控制问题存在唯一解的充分必要条件，给出了具有平均场形式的最优控制反馈表达且得到了最优状态满足一类平均场倒向随机微分方程，解释了最优控制和最优状态中出现平均场的主要原因;得到了纳什均衡开环策略存在唯一的必要条件以及Arrow充分条件，并基于解耦的Riccati方程以及微分方程得到正倒向随机混合控制系统存在唯一的反馈形式，并将结果应用到投资组合中.根据非线性数学期望与凸风险度量及倒向随机微分方程之间的关系，可将一类安全投资和网络保险问题等价转化为一类由正倒向随机混合控制系统驱动的最优控制问题来解决，得到了由正倒向随机微分方程驱动的混合最优控制问题存在唯一解的充分必要条件.针对非Lipschitz条件下的平均场倒向随机微分方程，结合皮卡尔迭代方法及Bihari不等式得到了其解的存在唯一性，此结果为研究由平均场倒向随机微分方程驱动的混合最优控制问题提供了理论基础.
主要学术创新点包括:针对倒向随机混合控制系统，首次提出了受控系统中同时含有确定控制和随机控制的最优控制问题，对于线性二次情形，得到了最优控制的反馈形式且最优状态满足一类平均场倒向随机微分方程，并将结果应用到一类产品管理问题中.针对倒向随机混合系统的微分博弈问题，首次在Arrow充分最优的条件下得到了均衡点满足的必要条件和充分条件，借助于新引入辅助方程以及解耦方法，建立了系统状态与伴随过程之间的关系，进而得到均衡点与状态之间的关系，并将结果应用到房屋抵押以及财富管理问题中;首次将正倒向随机混合最优控制理论应用到一类安全投资和网络保险问题中.
本文具体研究内容，研究成果以及创新点按章节顺序如下叙述:
1.研究由倒向随机混合系统驱动的最优控制问题及在线性二次情形、产品管理问题中的应用.首先利用凸变分原理以及随机最大值原理，给出非线性情况下倒向随机混合最优控制满足的充分条件和必要条件.接下来，根据非线性的情况讨论线性二次情形，通过随机最大值原理得到一个候选最优控制，由充分条件可以验证其最优性.针对耦合问题，采用解耦方法可以得到反馈形式的最优控制.进一步得到，最优控制不仅仅依赖于状态方程还依赖于带有期望的状态，且最优状态满足平均场倒向随机微分方程.最后，通过分别讨论仅含随机控制的情形以及仅含确定控制的情形，可以得到最优状态中产生平均场的主要原因在于当状态方程中只含有确定控制时，其代价泛函中既含有随机控制又含有确定控制.进一步将这一结果应用到产品管理问题中.创新之处在于:相比前人结果，最优控制是由平均场倒向随机微分方程显示表达，且此平均场倒向随机微分方程自然产生于对不带有平均场的倒向随机微分方程驱动的混合最优控制问题的研究.
2.研究由倒向随机微分方程驱动的随机非零和混合微分博弈问题.与仅含有随机控制策略情形相对比，利用凸变分方法，建立了倒向随机混合微分博弈问题的最大值原理.进一步通过验证Arrow条件得到均衡点满足的充分条件.通过一个数值例子说明Arrow条件中凸性的必要性.对于线性二次情形，由对偶原理得到一个非经典的正倒向随机微分方程，在一定条件下，通过引入两个新的方程组，得到了此正倒向随机微分方程解的存在唯一性.针对均衡点与状态之间的关系，利用解耦方法、Riccati方程以及微分方程的解，得到了均衡点与最优状态之间的关系.需要指出的是，所得结果为研究受政府策略影响的微分博弈问题，最优投资组合博弈问题以及时间不一致平均场控制系统博弈等问题奠定了基础.
3.应用随机最优控制理论和凸函数的一些理论研究正倒向随机混合最优控制问题.对于部分耦合的受控正倒向随机混合系统，利用随机最大值原理以及通过引入两个新的伴随方程，给出了最优控制存在且唯一的必要条件和充分条件，并得到基于两个解耦Riccati方程以及五个微分方程的最优控制显式解.通过解耦方法以及先找状态与伴随之间的关系再去寻找伴随与状态之间的关系的方法，进一步得到了最优控制的反馈形式.创新性体现在此问题是受到金融市场中安全投资和网络保险问题的启发，首次研究了正倒向随机混合最优控制问题，并根据Peng的非线性数学期望、倒向随机微分方程解以及凸风险度量之间的关系，把一类安全投资和网络保险问题等价转化为正倒向随机混合系统的最优控制问题.这些结果完善和改进了随机混合控制理论.
4.对于由倒向随机微分方程驱动的随机混合最优控制问题以及微分博弈问题，均会产生一类平均场倒向随机微分方程，受此启发研究平均场倒向随机微分方程解的存在唯一性问题.利用皮卡尔迭代以及伊藤公式推得状态方程序列的估计，进一步通过构造两列单调的函数列得到解的存在性.结合Bihari不等式推得方程解的唯一性.其创新点是在非Lipschitz条件下，得到平均场倒向随机微分方程解的存在唯一性，为研究非Lipschitz条件下正倒向随机混合最优控制问题奠定了理论基础.