【摘 要】
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自从十七世纪末分数阶导数被提出之后,长时间内分数阶微积分的发展相对平缓.上世纪九十年代起,反常扩散,非牛顿流体力学,粘弹性力学,多孔介质力学,软物质物理力学的理论和应用研究领域中出现了许多分数阶模型,其理论和数值模拟研究逐渐成为热点.近几年,关于分数阶微分方程的研究更加活跃.各种分数阶微分方程被应用到不同行业的实际问题中.由于大多分数阶偏微分方程的显式解析解无法直接得到,对方程进行数值模拟成为重要
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自从十七世纪末分数阶导数被提出之后,长时间内分数阶微积分的发展相对平缓.上世纪九十年代起,反常扩散,非牛顿流体力学,粘弹性力学,多孔介质力学,软物质物理力学的理论和应用研究领域中出现了许多分数阶模型,其理论和数值模拟研究逐渐成为热点.近几年,关于分数阶微分方程的研究更加活跃.各种分数阶微分方程被应用到不同行业的实际问题中.由于大多分数阶偏微分方程的显式解析解无法直接得到,对方程进行数值模拟成为重要的分析方式.多孔介质中的渗流问题被应用到石油,化工,地质,水利等多个领域.经典的整数阶渗流方程是在渗流连续的假设条件下利用经典的Darcy定律得到的,而这种假设条件与实际问题是不完全匹配的.在这种情况下,更一般的分数阶Darcy定律被提出.经典整数阶渗流方程中的空间偏导数用分数阶空间偏导数替代,便得到了分数阶渗流方程.本论文主要研究分数阶渗流方程的数值计算方法.第一章为背景知识.首先介绍分数阶微积分的历史,分数阶微分方程理论与数值模拟的研究进展,其次介绍分数阶渗流方程的背景以及已有的数值方法.第二章介绍分数阶导数相关的基础知识,对分数阶渗流方程中空间混合分数阶导数提出了一种一般的差分逼近公式.在一定条件下使用Fourier变换方法分析了其逼近误差.该逼近公式关于空间步长具有1阶精度.在此基础上本文还给出了一种加权2阶逼近公式.随后通过数值算例验证了每种逼近公式的精度.第三章研究一维双边分数阶渗流方程的差分格式.使用第二章中证明的差分逼近公式分别得到求解一维双边分数阶渗流方程的向后Euler差分格式与Crank-Nicolson格式,并在一定条件下证明两种格式的稳定性与收敛速度.特别地,针对Crank-Nicolson格式,本文使用外推技巧将其收敛阶由O（（△t）2+h）提高至O（（△t）2+h2）.通过分析离散代数方程组中刚度矩阵的Toeplitz结构,借助离散快速Fourier变换,提出了存储量为O（N）单时间层计算量为O（N log N）的快速CGNR迭代方法.针对每种差分格式提出了相应循环预处理矩阵,对此CGNR迭代进行加速.通过3个数值算例验证两种差分格式的稳定性和收敛阶,以及外推Crank-Nicolson的2阶效果.计算时间的统计数据表明快速预处理CGNR迭代求解的实用性.第四章研究二维分数阶渗流方程的差分格式.提出向后Euler差分格式与Crank-Nicolson格式,分别证明其稳定性与收敛速度.本文类似地使用外推技巧将Crank-Nico1son格式的收敛阶由O（（△t）2+hx+ht）提高至O（（△t）2+hx2+hy2）.通过分析离散代数方程组中刚度矩阵的分块Toeplitz结构,给出了存储量为O（N）单时间层计算量为O（N log N）的快速CGNR迭代方法.通过数值试验测试差分格式的收敛速度,并通过计算时间对比说明本文提出的快速算法较传统Gauss消元法的明显优势.第五章研究求解带有分数阶Robin/Neumann边值条件的渗流方程隐式差分格式.证明格式的稳定性所需条件较纯Dirchlet边值条件下有所降低.借助合适的循环预处理子,对该格式提出了快速预处理BiCGSTAB迭代方法.数值结果验证了所提格式的稳定性,收敛阶以及快速算法的实用性.第六章为全文内容的总结和对未来工作的展望.
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