【摘 要】
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本文主要研究了三类空间分数阶偏微分方程的非标准有限差分解法,并讨论了非标准有限差分格式的稳定性以及收敛性,最后通过数值算例证明了结果的准确性.本文共有四章,结构安排如下:第一章介绍了空间分数阶偏微分方程和非标准有限差分法的发展历史、课题研究背景和意义,并对国内外的一些研究现状进行了分析.第二章构造了空间分数阶扩散方程的非标准有限差分格式,然后使用Fourier转换法证明了该格式是稳定的.数值实验表
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本文主要研究了三类空间分数阶偏微分方程的非标准有限差分解法,并讨论了非标准有限差分格式的稳定性以及收敛性,最后通过数值算例证明了结果的准确性.本文共有四章,结构安排如下:第一章介绍了空间分数阶偏微分方程和非标准有限差分法的发展历史、课题研究背景和意义,并对国内外的一些研究现状进行了分析.第二章构造了空间分数阶扩散方程的非标准有限差分格式,然后使用Fourier转换法证明了该格式是稳定的.数值实验表明分母函数的构造形式是多样的,通过使用不同的分母函数可以降低最大误差,进而验证了非标准有限差分法的有效性.第三章研究了空间分数阶对流-扩散方程的非标准有限差分解法,利用带位移的Grünwald-Letnikov公式离散空间分数阶导数,用含有步长的分母函数去代替离散格式中的分母构造出非标准有限差分格式.接着使用Fourier转换法讨论了该差分格式的稳定性.在数值算例中,通过对比实验数据表明选取合适的分母函数可以减小最大误差.第四章结合Crank-Nicolson差分法和非标准有限差分法对空间分数阶热方程进行了数值研究,采用Grünwald-Letnikov公式和带位移的Grünwald-Letnikov公式离散两个空间分数阶导数构造非标准有限差分格式,并利用Fourier转换法分析了该格式的稳定性.数值算例不仅验证了结论的正确性,还说明通过构造合适的分母函数可以减小最大误差从而提高精度.最后总结了本文的研究内容并对将来的工作进行了展望.
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