算子矩阵是近年来算子理论中最为活跃的研究课题之一，其研究涉及到基础数学与应用数学的许多分支，如矩阵理论、优化理论和量子物理等等.本学位论文主要考虑算子矩阵的补问题和谱，内容包括算子矩阵的谱补问题、Fredholm补问题和可逆补问题以及非自伴算子矩阵的谱结构等方面.　　 用H1和H2表示Hilbert空间，B（Hi，Hj）表示从Hi到Hj的所有有界线性算子构成的Banach空间且简记为B（Hi，Hi）=B（Hi），i，j=1，2.本文的主要结论如下：　　 首先，研究了缺项算子矩阵的Moore-Penrose谱补问题.对给定的算子A∈B（H1）和B∈B（H2），刻画了下面的集合（），其中σM（·）表示Moore-Penrose谱.　　 其次，讨论了缺项算子矩阵的右（左）Fredholm补问题和右（左）可逆补问题.对给定的算子A∈B（H1）、B∈B（H2）和C∈B（H2，H1），分别得到了存在X∈B（H1，H2）使得算子矩阵为右（左）Fredholm算子和右（左）可逆算子的充分必要条件.　　 然后，考虑了缺项算子矩阵的Fredholm补问题和可逆补问题.对给定的算子A∈B（H1）和C∈B（H2，H1），分别给出存在X∈B（H1，H2）和Y∈B（H2）使得算子矩阵为右（左）Fredholm算子、右（左）可逆算子、Fredholm算子和可逆算子的充分必要条件.　　 最后，研究了某类非自伴算子矩阵的谱结构，作为推论得到了无穷维Hamilton算子和J-自伴算子矩阵的相关性质.一般情况下，无穷维Hamilton算子是一类特殊的非自伴算子矩阵，其研究有着重要的理论价值和应用价值.因此，还考虑了斜对角型无穷维Hamilton算子的近似点谱和上三角型无穷维Hamilton算子的本质谱，给出无穷维Hamilton算子的近似点谱（或本质谱）和其元素算子的近似点谱（或本质谱）之间的关系.