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Duffing方程是一类重要的平面Hamilton系统，具有非常重要的物理意义。多年以来，Duffing方程解的有界性，无界性，周期解的存在性及多重性是比较活跃的研究课题。
Duffing方程具有如下形式：
x+f(x)=p(t)，p(t+2π)=p(t)，其中，p(t)是定义在R上的函数，f(x)是R上的连续函数。
著名的数学家J.Moser和L.Markus分别在1962年和1969年建议学者们研究During方程。数学家们运用临界点理论，相平面分析的方法和基于度理论的连续性方法等对Duffing方程周期解的存在性及解的多重性问题进行了大量的研究。英国著名数学家Littlewood研究了Duffing方程是否具有Lagrange稳定性，即：
(1)方程的每个解x(t)在R上存在；
(2)supt∈R(｜x(t)｜+｜x(t)｜)<+∞。数学家们通常把这一问题称为Littlewood有界性问题。
当Duffing方程中的连续函数f(x)在无穷远处具有线性增长速度，也就是说极限：
a：=limx→+∞f(x)/x，b：=limx→-∞f(x)/x存在且a≠b，这时我们把这类方程称为非对称方程。最简单的非对称方程具有如下形式
x"+ax+-bx-=p(t)，其中x+=max{x，0}，x-=max{-x，0)，a≠b。著名数学家N.Dancer和S.Fucik分别在1976年和1980年在研究边值问题时就曾考虑过这类方程，他们称这种方程具有“跳跃非线性项”。另外，这种方程具有很强的物理背景，来源于吊桥问题或者源于两个弹簧中间有一个“stop”。所以对这类非对称方程进行研究，具有很强的理论意义和应用价值。数学家们主要考虑了此类非对称方程解的有界性，无界性以及周期解的存在性。
我们熟知的线性方程的一个重要结论是：如果线性方程存在周期解，则它的所有的解是有界的；或者根据Massera第二定理，如果方程不存在周期解，则所有的解是无界的。1998年，R.Ortega通过对非对称方程x"+ax+-bx-=p(t)解的无界性进行研究得出了周期解和无界解共存的条件。这与已知的线性方程的结果截然不同。这就是说，在合理的假设条件下，非对称方程无界解和周期解是可以共存的。而此类非对称方程解的有界性与1/√a+1/√b是否是有理数有着密切的关系。为此，我们需要将非对称方程分为两种情形进行讨论：
(1)当π/√a+π/√b∈Q时，称为resonance case；
(2)当1/√a+1/√b∈Q时，称为nonresonance case。
本论文主要研究了这种具有扰动的跳跃非线性项的方程，研究此类非对称方程在什么条件下所有的解是有界的?什么情况下存在无界解?是否会出现周期解和无界解共存的现象?
本文主要分成三部分：第一部分主要研究Liénard型的非对称方程周期解的存在性及解的无界性问题；第二部分给出了更一般的带有扰动项的Rayleigh方程存在无界解的充分条件；第三部分研究非对称方程
x"+ax+-bx-+g(x)=p(t)解的有界性和无界性问题，其中函数g(x)满足lim｜x｜→+∞x-1g(x)=0，这是本论文中最主要的部分。在该部分我们的主要结果是：在扰动项g(x)可以是振动的甚至可以是无界的条件下，得出了方程所有的解是有界的充分条件，并且给出了存在无界解的一些条件，即得到的结果几乎是一个充分必要条件。
论文的第一部分由第二章组成。我们研究了方程
x"+f(x)x+ax+-bx-+g(x)=p(t)，其中，f(x)是连续函数，p(t)是2π周期的连续函数。主要研究了该方程周期解的存在性及解的无界性问题。对于这种方程，尽管数学家们给出了一些存在有界解和无界解的条件，但是大多数结果都要求非线性扰动项g(x)是有界的并且在无穷远处存在极限这一条件。我们经过研究得出该条件可以减弱为g(x)是有界的并且存在广义极限，即limx→±∞(1/x)∫x0g(s)ds=G±存在且有限。也就是说函数g(x)在无穷远处是可以振动的。对于这类方程我们分别在resonance case和nonresonance case下进行研究，给出了方程存在无界解的充分条件。主要结果是定理2.1，定理2.2和定理2.3。
论文的第二部分是第三章。在第三章，我们考虑了方程
x"+ax+-bx-+φ(x)ψ(x)+f(x)=g(x)=p(t)在resonarice case和nonresonance case下的解的无界性问题。该方程中f(x)是局部Lipschitz连续的有界函数且在无穷远处存在广义极限，φ(x)，ψ(x)，g(x)是连续函数，p(t)是2π周期的连续函数。对于这种依赖于导数项的方程，解的无界性问题很少有人进行研究，因此我们考虑了此类方程周期解的存在性及存在无界解的条件。主要结果是定理3.1，定理3.2，定理3.3和定理3.4。
第四章是论文的第三部分。在这一章，我们着重研究非对称方程x"+ax+-bx-+g(x)=p(t)解的有界性和无界性问题。首先，我们研究了该方程在扰动项g(x)是无界的条件下所有解有界的充分条件。通过时间映射τ(h)在Poincaré映射中的表示形式，利用马世旺教授和吴建宏教授得出的Moser小扭转定理，以及严格的余项估计后，我们得出了非对称方程在扰动项g(x)可以振动甚至是无界的条件下，方程的所有解是有界的充分条件，主要的结果是定理4.1，定理4.2和定理4.3；其次我们对抽象映射：进行研究，给出了抽象映射存在无界解的条件；最后，利用该结果对上述的非对称方程解的无界性进行研究，在扰动项g(x)是无界的条件下，证明了方程存在无界解，主要结果是定理4.4和定理4.5。