Hausdorff距离和它的一般化Gromov-Hausdorff距离是度量几何中的重要工具，它们在数学其他分支中也有重要的应用。本文将探讨某些度量不变量在Hausdorff距离与Gromov-Hausdorff距离下的连续性。我们首先对一些简单度量不变量的连续性论断给出了详细的证明。对于n维欧式空间的子集，Gromov在[8]中引入了k-宽度的概念（0≤k≤n）。我们证明了k-宽度函数在Hausdorff拓扑下是连续的。基于k-宽度，我们对Rn中的子集引入了平均(n-1)-宽度的概念，并证明了它在Hausdorff拓扑下也是连续的。众所周知，Lipchitz拓扑与一致收敛拓扑都是比Gromov-Hausdorff拓扑强的拓扑，本文证明了在一个度量空间的道路空间中，道路一致收敛拓扑不会比Gromov-Hausdorff拓扑更强。本文最后指出了M.Cho在文献[5]中关于覆盖半径在Gromov-Hausdorff拓扑下的连续性论证的一个漏洞。