金融数学是一门新兴交叉学科，在国际金融界和应用数学界受到高度重视. 未定权益的定价和套期保值理论是金融数学研究的核心问题之一，它涉及现代金融学的资产定价理论、投资组合理论以及现代数学中的随机分析、随机控制、优化理论、数理统计等学科.它的理论研究不仅丰富和发展了现代金融学，而且对数学的许多分支起到了推动作用. 未定权益的定价和套期保值理论不仅对金融工具的不断创新和金融市场的有效运作产生直接影响，而且在公司的投资决策、研究项目的评估和金融机构的风险管理中有广泛的应用.本文系统地研究了指数半鞅模型的未定权益定价和套期保值问题. 证明了指数半鞅模型的资产定价基本定理；当市场是无套利不完备市场时，获得了均值方差最优和拟局部风险最小套期保值策略的存在且唯一的充要条件，并且给出了这两种最优套期保值策略的精确表达式和未定权益的最优近似定价；当市场有套利机会存在时，用新的定价方法—保险精算定价方法，给出了欧式期权的保险精算定价. 具体内容如下： 建立了金融市场的指数半鞅模型；给出了指数半鞅模型等价局部鞅（鞅） 测度存在的充要条件；证明了指数半鞅模型的资产定价的第一和第二基本 定理. 建立了无套利指数半鞅模型；在一般指数半鞅模型下，给出了均值方差最 优套期保值策略存在且唯一的两个充分条件；获得了风险最小和拟局部风 险最小策略存在的充要条件；给出了未定权益有 F-S 分解的充分条件. 在 累计收益过程是连续半鞅的情况下，证明了均值方差最优套期保值策略存 在且唯一的充要条件是累计收益过程的方差最优鞅测度满足逆 Holder 不 等式. 在累计收益过程是连续半鞅且其方差最优鞅密度满足逆 Holder 不等式的 情况下，给出了均值方差最优策略的精确表达式, 获得了与平方最优性准 则相关的一些优化问题的解，得到了均值约束下的方差最优策略的有效边 缘. iii<WP=7>对金融市场的多维扩散过程模型进行了深入研究；证明了多维扩散过程模型是一个无套利的不完备市场模型；给出了多维扩散模型的所有鞅测度的刻画；获得了局部鞅测度为方差最优鞅测度的充要条件；给出了方差最优鞅密度和极小鞅密度的精确表达式；获得了多维扩散过程均值方差最优策略和风险最小策略的具体表示式.建立了金融市场的一般随机波动率模型；给出了随机波动率模型的局部鞅测度刻画，证明随机波动率模型是无套利的不完备市场模型. 给出随机波动率模型的极小鞅测度和方差最优鞅测度刻画. 在扩散随机波动率模型下，获得了方差最优鞅测度的 Radon-Nikodym 导数的精确表达式；给出了构造未定权益在给定鞅测度下的 F-S 分解的一般方法和构造局部风险最小策略和均值方差最优策略的一般步骤.对保险精算定价理论作了一般性推广.说明了当市场有套利机会存在时传统的无套利定价方法无法使用，这时保险精算定价方法是一种行之有效的期权定价方法.给出了广义 B-S 模型的欧式期权的保险精算定价公式；研究了保险精算定价与无套利定价之间的关系；证明了保险精算定价可能是有套利定价.