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近来,泛函微分方程及奇异二阶边值问题的正解这一课题引起了广泛关注,本文第二章与第三章研究了泛函微分方程解的存在性及多重性,在方程的类型上推广了近期诸多文献的方程类型.第四章我们采用逼近方法,不动点指数理论及一个新的锥讨论了奇异边值问题正解的存在性,减弱了以往文献的条件,更具有一般性.本文采用的是锥理论和不动点指数理论。
第二章讨论泛函微分方程x’(t)=-a(t)f(x(t-τ(t)))x(t)+g(t,x(t-τ(t))),(1)假设(H)a(t)∈C(R,(0,∞)),τ(t)∈C(R,R),f∈C([0,∞),(0,∞)),g∈C(R×[0,∞),[0,∞))并且a(t),τ(t)都是ω-周期泛函,g(t,x)关于t为ω-周期泛函,ω>0为一常数,f(x)为有界泛函.在(H)满足时,如果liminfu↓0mint∈[0,ω]g(t,u)/f(u)a(t)u>1且liminfu↑∞mint∈g(t,u)/f(u)a(t)u<1,或liminfu↓0mint∈[0,ω]g(t,u)/f(u)a(t)u<1且liminfu↑∞mint∈g(t,u)/f(u)a(t)u>1.成立,则方程(1)至少存在一个正解.第三章讨论泛函微分方程x’()=-a(t)f(x(t-τ(t)))x(t)+g(t,x(t-τ(t))),(2)解的多重性.其中a(t)∈C(R,(0,∞)),τ(t)∈C(R,R),f∈C([0,∞),(0,∞)),g∈C(R×[0,∞),[0,∞))并且a(t),τ(t)都是ω-周期泛函,g(t,x)关于t为ω-周期泛函,ω>0为一常数,f(x)为有界泛函.如果liminfu→0+mint∈g(t,u)/f(u)a(t)u>1,liminfming(t,u)/f(u)a(t)u>1.且存在r0>0使得g(t,u)<ηr0,0≤u≤r0.这里η=[ωG(0,ω)]-1,G(t,s)=e∫a(θ)f(x(θ-τ(θ)))dθ-1/e∫a(θ)f(x(θ-τ(θ)))dθ-1;或liminfu→0+mint∈g(t,u)/f(u)a(t)u<1iminfu→∞+mint∈g(t,u)/f(u)a(t)u<1,且存在r0>0使得g(t,u)>ηr0,γr0≤u≤r0.这里η=[ωG(0,ω)]-1,γ∈(0,1).则问题(2)至少有两个正解.第四章讨论奇异边值问题{yn+λf(t,y)=0,t∈(0,1),(3)y(0)=y(1)=0,假设(L1)f∈C[(0,1)×(0,∞),R],存在一个常数M>0和q∈C[(0,1),R+],g∈C[(0,∞),R+],满足0≤f(t,y)+M≤q(t)g(y),t∈(0,1),y∈(0,∞),和0<∫10s(1-s)q(s)ds<+∞.limx→0+f(t,x)>(mint∈[α,β]∫βαG(t,s)ds)-1和limx→+∞f(t,x)/x=+∞,t∈[α,β].其中G(t,s)={t(1-s,0)0≤t≤s≤1,s(1-t),0≤s≤t≤1.如果(L1),(L2)满足,则问题(3)至少存在两个正解。