近来，泛函微分方程及奇异二阶边值问题的正解这一课题引起了广泛关注，本文第二章与第三章研究了泛函微分方程解的存在性及多重性，在方程的类型上推广了近期诸多文献的方程类型.第四章我们采用逼近方法，不动点指数理论及一个新的锥讨论了奇异边值问题正解的存在性，减弱了以往文献的条件，更具有一般性.本文采用的是锥理论和不动点指数理论。 第二章讨论泛函微分方程x’(t)=-a(t)f(x(t-τ(t)))x(t)+g(t，x(t-τ(t)))，(1)假设(H)a(t)∈C(R，(0，∞))，τ(t)∈C(R，R)，f∈C([0，∞)，(0，∞))，g∈C(R×[0，∞)，[0，∞))并且a(t)，τ(t)都是ω-周期泛函，g(t，x)关于t为ω-周期泛函，ω＞0为一常数，f(x)为有界泛函.在(H)满足时，如果liminfu↓0mint∈[0,ω]g(t,u)/f(u)a(t)u＞1且liminfu↑∞mint∈g(t,u)/f(u)a(t)u＜1，或liminfu↓0mint∈[0,ω]g(t,u)/f(u)a(t)u＜1且liminfu↑∞mint∈g(t,u)/f(u)a(t)u＞1.成立，则方程(1)至少存在一个正解.第三章讨论泛函微分方程x’()=-a(t)f(x(t-τ(t)))x(t)+g(t，x(t-τ(t)))，(2)解的多重性.其中a(t)∈C(R，(0，∞))，τ(t)∈C(R，R)，f∈C([0，∞)，(0，∞))，g∈C(R×[0，∞)，[0，∞))并且a(t)，τ(t)都是ω-周期泛函，g(t，x)关于t为ω-周期泛函，ω＞0为一常数，f(x)为有界泛函.如果liminfu→0+mint∈g(t,u)/f(u)a(t)u＞1，liminfming(t,u)/f(u)a(t)u＞1.且存在r0＞0使得g(t，u)＜ηr0，0≤u≤r0.这里η=[ωG(0，ω)]-1，G(t，s)=e∫a(θ)f(x(θ-τ(θ)))dθ-1/e∫a(θ)f(x(θ-τ(θ)))dθ-1；或liminfu→0+mint∈g(t,u)/f(u)a(t)u＜1iminfu→∞+mint∈g(t,u)/f(u)a(t)u＜1，且存在r0＞0使得g(t，u)＞ηr0，γr0≤u≤r0.这里η=[ωG(0，ω)]-1，γ∈(0，1).则问题(2)至少有两个正解.第四章讨论奇异边值问题{yn+λf(t,y)=0，t∈(0，1),(3)y(0)=y(1)=0,假设(L1)f∈C[(0，1)×(0，∞)，R]，存在一个常数M＞0和q∈C[(0，1)，R+]，g∈C[(0，∞)，R+]，满足0≤f(t，y)+M≤q(t)g(y)，t∈(0，1)，y∈(0，∞)，和0＜∫10s(1-s)q(s)ds＜+∞.limx→0+f(t,x)＞(mint∈[α,β]∫βαG(t,s)ds)-1和limx→+∞f(t,x)/x=+∞,t∈[α,β].其中G(t,s)={t(1-s,0)0≤t≤s≤1,s(1-t),0≤s≤t≤1.如果(L1)，(L2)满足，则问题(3)至少存在两个正解。