1987年J.G.Thompson在给施武杰的一封信中提出了下面的一个与代数数域有关的问题（见[24]的问题12.37）.特别在Thompson的信中[48]写到：“我已经把关于同阶型的问题告诉了很多数学工作者.这个问题起源于研究代数数域，这是我非常感兴趣的”. Thompsom问题对于有限群G和整数d≥1，设G（d）={x∈G|xd=1}。定义G和H是同阶型的当且仅当|G（d）|=|H （d）|，d=1，2，….设G和H是同阶型，如果G可解，是否H必然可解？ 记πe（G）表示G的元素阶的集合，Te（G）表示G的同阶元长度的集合.容易看出Thompson问题也可以描述为以下的问题： Thompsom问题* 设G为有限群，令T（G）={（m，Sm）|m∈πe（G）且Sm∈Te（G）），这里Sm表示G中m阶元的个数.设T（G）=T（H），如果G可解，是否H必然可解？ 本文主要从Thompson问题入手，考虑Thompson问题条件中的集合T（G）中对象：元素阶的集合πe （G）和同阶元长度的集合Te（G）对有限群的结构的影响. 本文共分四章，主要有以下内容： 第一章介绍本文常用的符号和基本概念，及一些已有的结果. 第二章讨论Thompson问题. 文[53]中给出了有限群G的素图GK （G）的定义，其顶点集V（GK（G））=π（G）={p|p为|G|的素因子}，边集合E（GK （G））={p～q|pq∈πe（G），p，q∈V（GK（G））}.本章对Thompson问题在素图非连通时给出了肯定的回答.得到了以下的结果： 定理A若G，H是有限群使得G和H是同阶型且G的素图非连通，如果G是可解群，则H也可解. 第三章考虑用元素阶的集合πe（G）刻画有限单群，证明了以下定理B：定理B设G为有限群，p为奇素数，若πe（G）=πe（Bp（3）），则当p>3时有G（）Bp（3）；当p=3，则G（）B3（3）或D4（3）. 在1987年施武杰提出了单群的纯数量刻画：仅用群的元素阶的集合πe（G）和群的阶来刻画有限单群，提出了以下的猜想： 猜想设G和S是有限群，S为单群，则G（）S当且仅当|G|=|S|且πe（G）=πe（S）。 上述猜想作为一个未解决的群论问题已载入[24]的问题12.39.目前已经证明了该猜想除了Dn（q）（n是偶数），Bn（q）和Cn（q）外所有单群都成立.本章继续考虑如上的猜想在单群B2m（3）的情形，证明了如下的定理： 定理C有限群G（）B2m（3）当且仅当|G|=|B2m （3）|且πe（G）=πe（B2m（3））. 第四章考虑用同阶元长度的集合Te（G）来刻画有限群，证明了以下定理： 定理D设G是群（不必为有限）.若Te（G）=πe（Altn），其中4≤n≤6，则G（）Altn。