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本文利用拓扑度理论证明了半线性阻尼梁方程双周期解的一个A-P型多重性结果和非线性变系数（即系数依赖于自变量）波方程共振问题周期解的存在性结果。
对半线性阻尼梁方程，首先讨论方程的弱解算子的紧性，利用算子的一些基本结论，借助Fourier方法，通过先验估计，证明了在文中所讨论的函数空间中是紧算子，从而可定义文中的重合度，根据对非线性项的假设和拓扑度的性质，证明了一些引理，利用引理最终得到当参数处于不同范围时半线性阻尼梁方程分别无弱双周期解、至少一个弱双周期解和至少两个弱双周期解。
对非线性变系数波方程的共振问题，首先研究关于线性主部算子的一些性质，根据这些性质，采用与Iannacci和Nkashama[30] 类似的方法，通过先验估计，然后利用拓扑度同伦不变性、Mawhin连续性定理和Fatou引理证明问题至少有一个周期解。